Номер 1013, страница 210, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

1013 Докажи, что произведение значений данных выражений равно 1:

1) $1 \frac{19}{20} + \frac{4}{5}$; $4 \frac{7}{18} - 3 \frac{8}{9}$; $4 : 9$; $5 \frac{1}{7} \cdot \frac{7}{22}$;

2) $3 \frac{1}{2} + 4 \frac{5}{6}$; $6 \frac{1}{15} - 4 \frac{2}{3}$; $\frac{11}{15} : 3 \frac{2}{3}$; $4 \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{21}$.

1)

Чтобы доказать, что произведение значений данных выражений равно 1, сначала необходимо вычислить значение каждого выражения.

Первое выражение: $1\frac{19}{20} + \frac{4}{5}$. Переведем смешанное число в неправильную дробь и приведем дроби к общему знаменателю:

$1\frac{19}{20} + \frac{4}{5} = \frac{1 \cdot 20 + 19}{20} + \frac{4 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{39}{20} + \frac{16}{20} = \frac{39 + 16}{20} = \frac{55}{20} = \frac{11}{4}$.

Второе выражение: $4\frac{7}{18} - 3\frac{8}{9}$. Переведем смешанные числа в неправильные дроби и приведем к общему знаменателю:

$4\frac{7}{18} - 3\frac{8}{9} = \frac{4 \cdot 18 + 7}{18} - \frac{3 \cdot 9 + 8}{9} = \frac{79}{18} - \frac{35}{9} = \frac{79}{18} - \frac{35 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{79}{18} - \frac{70}{18} = \frac{79 - 70}{18} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$.

Третье выражение: $4 : 9$. Деление можно записать в виде дроби: $4 : 9 = \frac{4}{9}$.

Четвертое выражение: $5\frac{1}{7} \cdot \frac{7}{22}$. Переведем смешанное число в неправильную дробь и выполним умножение:

$5\frac{1}{7} \cdot \frac{7}{22} = \frac{5 \cdot 7 + 1}{7} \cdot \frac{7}{22} = \frac{36}{7} \cdot \frac{7}{22} = \frac{36 \cdot 7}{7 \cdot 22} = \frac{36}{22} = \frac{18}{11}$.

Теперь найдем произведение полученных значений:

$\frac{11}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{18}{11} = \frac{11 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 18}{4 \cdot 2 \cdot 9 \cdot 11}$.

Сгруппируем множители и сократим дробь:

$\frac{11 \cdot 4 \cdot 18}{11 \cdot 4 \cdot (2 \cdot 9)} = \frac{11 \cdot 4 \cdot 18}{11 \cdot 4 \cdot 18} = 1$.

Произведение значений выражений равно 1, что и требовалось доказать.

Ответ: 1.

2)

Аналогично первому пункту, вычислим значение каждого выражения, а затем найдем их произведение.

Первое выражение: $3\frac{1}{2} + 4\frac{5}{6}$. Переведем смешанные числа в неправильные дроби и приведем к общему знаменателю:

$3\frac{1}{2} + 4\frac{5}{6} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} + \frac{4 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{7}{2} + \frac{29}{6} = \frac{7 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{29}{6} = \frac{21}{6} + \frac{29}{6} = \frac{50}{6} = \frac{25}{3}$.

Второе выражение: $6\frac{1}{15} - 4\frac{2}{3}$. Переведем смешанные числа в неправильные дроби и приведем к общему знаменателю:

$6\frac{1}{15} - 4\frac{2}{3} = \frac{6 \cdot 15 + 1}{15} - \frac{4 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{91}{15} - \frac{14}{3} = \frac{91}{15} - \frac{14 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{91}{15} - \frac{70}{15} = \frac{21}{15} = \frac{7}{5}$.

Третье выражение: $\frac{11}{15} : 3\frac{2}{3}$. Переведем смешанное число в неправильную дробь и выполним деление:

$\frac{11}{15} : 3\frac{2}{3} = \frac{11}{15} : \frac{3 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{11}{15} : \frac{11}{3} = \frac{11}{15} \cdot \frac{3}{11} = \frac{11 \cdot 3}{15 \cdot 11} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$.

Четвертое выражение: $4\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{21}$. Переведем смешанное число в неправильную дробь и выполним умножение:

$4\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{21} = \frac{4 \cdot 2 + 1}{2} \cdot \frac{2}{21} = \frac{9}{2} \cdot \frac{2}{21} = \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 21} = \frac{9}{21} = \frac{3}{7}$.

Теперь найдем произведение полученных значений:

$\frac{25}{3} \cdot \frac{7}{5} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{7} = \frac{25 \cdot 7 \cdot 1 \cdot 3}{3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7}$.

Сгруппируем множители и сократим дробь:

$\frac{25 \cdot 7 \cdot 3}{3 \cdot (5 \cdot 5) \cdot 7} = \frac{25 \cdot 7 \cdot 3}{3 \cdot 25 \cdot 7} = 1$.

Произведение значений выражений равно 1, что и требовалось доказать.

Ответ: 1.