Номер 1004, страница 209, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

1004 Представима ли в виде конечной десятичной дробь:

1) $\frac{2^4 \cdot 3^7 \cdot 5^3 \cdot 7^3 \cdot 11}{2^5 \cdot 3^7 \cdot 5^{11} \cdot 7^2}$;

2) $\frac{2^7 \cdot 3^6 \cdot 5^3 \cdot 7^3}{2^5 \cdot 3^7 \cdot 5^{11} \cdot 7^2 \cdot 11}$?

Обыкновенная дробь может быть представлена в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда ее знаменатель в несократимом виде не содержит никаких простых множителей, кроме 2 и 5. Чтобы определить, представима ли данная дробь в виде конечной десятичной, мы должны сначала сократить ее до несократимого вида, а затем проанализировать простые множители ее знаменателя.

1)

Рассмотрим первую дробь: $\frac{2^4 \cdot 3^7 \cdot 5^3 \cdot 7^3 \cdot 11}{2^5 \cdot 3^7 \cdot 5^{11} \cdot 7^2}$.
Сократим ее, используя правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{2^4 \cdot 3^7 \cdot 5^3 \cdot 7^3 \cdot 11}{2^5 \cdot 3^7 \cdot 5^{11} \cdot 7^2} = 2^{4-5} \cdot 3^{7-7} \cdot 5^{3-11} \cdot 7^{3-2} \cdot 11$
$= 2^{-1} \cdot 3^0 \cdot 5^{-8} \cdot 7^1 \cdot 11$
$= \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{5^8} \cdot 7 \cdot 11 = \frac{7 \cdot 11}{2 \cdot 5^8} = \frac{77}{2 \cdot 5^8}$.
В результате сокращения мы получили несократимую дробь $\frac{77}{2 \cdot 5^8}$. Знаменатель этой дроби, равный $2 \cdot 5^8$, содержит в своем разложении на простые множители только числа 2 и 5.
Следовательно, данная дробь представима в виде конечной десятичной дроби.

Ответ: да.

2)

Рассмотрим вторую дробь: $\frac{2^7 \cdot 3^6 \cdot 5^3 \cdot 7^3}{2^5 \cdot 3^7 \cdot 5^{11} \cdot 7^2 \cdot 11}$.
Сократим ее аналогичным образом:
$\frac{2^7 \cdot 3^6 \cdot 5^3 \cdot 7^3}{2^5 \cdot 3^7 \cdot 5^{11} \cdot 7^2 \cdot 11} = 2^{7-5} \cdot 3^{6-7} \cdot 5^{3-11} \cdot 7^{3-2} \cdot \frac{1}{11}$
$= 2^2 \cdot 3^{-1} \cdot 5^{-8} \cdot 7^1 \cdot \frac{1}{11}$
$= 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5^8} \cdot 7 \cdot \frac{1}{11} = \frac{4 \cdot 7}{3 \cdot 5^8 \cdot 11} = \frac{28}{3 \cdot 5^8 \cdot 11}$.
В результате сокращения мы получили несократимую дробь $\frac{28}{3 \cdot 5^8 \cdot 11}$. Знаменатель этой дроби, равный $3 \cdot 5^8 \cdot 11$, содержит в своем разложении на простые множители числа 3 и 11, которые отличны от 2 и 5.
Следовательно, данная дробь не может быть представлена в виде конечной десятичной дроби (она будет бесконечной периодической).

Ответ: нет.