Номер 1031, страница 213, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

1031 1) Отметь на координатной плоскости точки $A (0; 2)$, $B (9; 11)$, $C (9; 5)$, $D (6; 2)$ и построй четырёхугольник $ABCD$. Как называется такой четырёхугольник?

2) Построй четырёхугольник $KLMN$, если $K (1; 7)$, $L (4; 10)$, $M (11; 3)$, $N (8; 0)$. Определи его вид.

3) Раскрась цветным карандашом пересечение четырёхугольников $ABCD$ и $KLMN$. Какая фигура получилась?

1) Для определения вида четырёхугольника ABCD с вершинами в точках A(0; 2), B(9; 11), C(9; 5) и D(6; 2) проанализируем его стороны. Для этого найдём угловые коэффициенты (наклоны) сторон, которые не параллельны осям координат.

Угловой коэффициент стороны AB, соединяющей точки A(0; 2) и B(9; 11), вычисляется по формуле $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$:
$k_{AB} = \frac{11 - 2}{9 - 0} = \frac{9}{9} = 1$.

Угловой коэффициент стороны CD, соединяющей точки C(9; 5) и D(6; 2):
$k_{CD} = \frac{2 - 5}{6 - 9} = \frac{-3}{-3} = 1$.

Поскольку угловые коэффициенты сторон AB и CD равны ($k_{AB} = k_{CD}$), эти стороны параллельны. Теперь рассмотрим две другие стороны. Сторона AD соединяет точки A(0; 2) и D(6; 2), у которых одинаковые y-координаты, следовательно, сторона AD параллельна оси Ox. Сторона BC соединяет точки B(9; 11) и C(9; 5), у которых одинаковые x-координаты, следовательно, сторона BC параллельна оси Oy. Так как одна из этих сторон параллельна оси Ox, а другая — оси Oy, они не параллельны друг другу. Четырёхугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны, называется трапецией.

Ответ: Получившийся четырёхугольник ABCD — это трапеция.

2) Построим четырёхугольник KLMN по его вершинам: K(1; 7), L(4; 10), M(11; 3), N(8; 0). Чтобы определить его вид, вычислим угловые коэффициенты его сторон.

Угловой коэффициент стороны KL: $k_{KL} = \frac{10 - 7}{4 - 1} = \frac{3}{3} = 1$.

Угловой коэффициент стороны LM: $k_{LM} = \frac{3 - 10}{11 - 4} = \frac{-7}{7} = -1$.

Угловой коэффициент стороны MN: $k_{MN} = \frac{0 - 3}{8 - 11} = \frac{-3}{-3} = 1$.

Угловой коэффициент стороны NK: $k_{NK} = \frac{7 - 0}{1 - 8} = \frac{7}{-7} = -1$.

Так как $k_{KL} = k_{MN}$, то сторона KL параллельна MN. Так как $k_{LM} = k_{NK}$, то сторона LM параллельна NK. Поскольку противолежащие стороны попарно параллельны, KLMN является параллелограммом. Проверим, являются ли смежные стороны перпендикулярными. Для этого найдём произведение их угловых коэффициентов, например, KL и LM:
$k_{KL} \cdot k_{LM} = 1 \cdot (-1) = -1$.

Так как произведение угловых коэффициентов равно -1, стороны KL и LM перпендикулярны. Параллелограмм, у которого есть прямой угол, является прямоугольником.

Ответ: Четырёхугольник KLMN — это прямоугольник.

3) Фигура, полученная в результате пересечения четырёхугольников ABCD и KLMN, представляет собой многоугольник, вершины которого являются точками пересечения сторон исходных фигур. Проведём анализ и найдём эти точки.

Вершинами фигуры пересечения являются:

точка D(6; 2), являющаяся вершиной ABCD и лежащая на стороне NK прямоугольника KLMN;

точка C(9; 5), являющаяся вершиной ABCD и лежащая на стороне LM;

точка P₁(6; 8) — точка пересечения стороны AB трапеции и стороны LM прямоугольника;

точка P₂(3; 5) — точка пересечения стороны AB трапеции и стороны NK прямоугольника.

Таким образом, искомая фигура — это четырёхугольник с вершинами D(6; 2), C(9; 5), P₁(6; 8) и P₂(3; 5).

Определим вид этого четырёхугольника, вычислив длины его сторон и их угловые коэффициенты.

Сторона DC: длина $d = \sqrt{(9-6)^2 + (5-2)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18}$. Угловой коэффициент $k = \frac{5-2}{9-6} = 1$.

Сторона CP₁: длина $d = \sqrt{(6-9)^2 + (8-5)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 3^2} = \sqrt{18}$. Угловой коэффициент $k = \frac{8-5}{6-9} = -1$.

Сторона P₁P₂: длина $d = \sqrt{(3-6)^2 + (5-8)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{18}$. Угловой коэффициент $k = \frac{5-8}{3-6} = 1$.

Сторона P₂D: длина $d = \sqrt{(6-3)^2 + (2-5)^2} = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = \sqrt{18}$. Угловой коэффициент $k = \frac{2-5}{6-3} = -1$.

Все стороны получившегося четырёхугольника равны $\sqrt{18}$. Произведение угловых коэффициентов смежных сторон равно $1 \cdot (-1) = -1$, что означает, что углы между ними прямые. Четырёхугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые, является квадратом.

Ответ: Получилась фигура — квадрат.