Номер 1035, страница 213, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

1035 Дорога от дома до школы занимает у Пети 20 мин. Однажды по дороге в школу он вспомнил, что забыл дома ручку. Если теперь он продолжит путь с той же скоростью, то придёт в школу за 3 мин до звонка, а если вернётся домой за ручкой, то, идя с той же скоростью, опоздает на 7 мин. Какую часть пути он прошёл до того, как вспомнил о ручке? (Временем, необходимым для того, чтобы зайти в дом и взять ручку, пренебречь.)

Пусть общее время, которое занимает дорога от дома до школы, составляет $T_{общ} = 20$ минут. Обозначим через $t$ время, в течение которого Петя шёл до того момента, как вспомнил о забытой ручке.

Рассмотрим два возможных сценария.

Если Петя продолжит свой путь в школу, то его общее время в пути составит 20 минут. По условию, он прибудет за 3 минуты до звонка.

Если Петя вернётся домой за ручкой, то его общее время в пути будет складываться из времени $t$ до точки, где он вспомнил о ручке, времени $t$ на обратный путь домой, и полного времени в 20 минут на дорогу от дома до школы. Суммарное время составит $t + t + 20 = 2t + 20$ минут. В этом случае он опоздает на 7 минут.

Разница во времени прибытия между этими двумя сценариями составляет $3 \text{ мин} + 7 \text{ мин} = 10$ минут.

Эта разница во времени прибытия полностью обусловлена дополнительным временем, затраченным на дорогу. Разница во времени в пути между вторым и первым сценариями равна $(2t + 20) - 20 = 2t$ минут.

Таким образом, мы можем составить уравнение, приравняв дополнительное время в пути к разнице во времени прибытия:

$2t = 10$

Решая уравнение, находим $t$:

$t = \frac{10}{2} = 5$ минут.

Это означает, что Петя шёл 5 минут, прежде чем вспомнил о ручке. Чтобы определить, какую часть пути он прошёл, необходимо найти отношение времени $t$ к общему времени пути $T_{общ}$, так как его скорость была постоянной.

Искомая часть пути = $\frac{t}{T_{общ}} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$.

Ответ: Петя прошёл $\frac{1}{4}$ часть пути.