Номер 1037, страница 214, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

* 1037 Ваня, Коля и Петя играли в настольный теннис «навылет», то есть в каждой партии двое играют, а третий ждёт и в следующей партии замещает проигравшего (ничьих не бывает). В итоге оказалось, что Ваня сыграл 12 партий, а Коля – 25 партий. Сколько партий Коля отдыхал? Ответ объясни.

Для решения этой задачи давайте введем переменные. Пусть $N$ — общее количество сыгранных партий. Пусть $N_В$, $N_К$ и $N_П$ — это количество партий, которые сыграли Ваня, Коля и Петя соответственно. Из условия задачи мы знаем, что $N_В = 12$ и $N_К = 25$.

В каждой партии играют двое, поэтому за $N$ партий общее количество игровых мест равно $2N$. Это число должно быть равно сумме партий, сыгранных каждым из трех игроков:

$N_В + N_К + N_П = 2N$

Подставим известные значения:

$12 + 25 + N_П = 2N$

$37 + N_П = 2N$

Теперь воспользуемся ключевым правилом игры: «третий ждёт и в следующей партии замещает проигравшего». Это означает, что игрок, который отдыхал в одной партии, обязательно должен играть в следующей. Следовательно, ни один игрок не может отдыхать две партии подряд.

Рассмотрим любого игрока. Пусть он сыграл $N_i$ партий и отдыхал $R_i$ партий. Общее число партий $N = N_i + R_i$. Поскольку игрок не может отдыхать две партии подряд, количество его партий отдыха ($R_i$) не может превышать количество сыгранных им партий ($N_i$) более чем на единицу. Это можно записать в виде неравенства: $R_i \le N_i + 1$.

Заменим $R_i$ на $N - N_i$:

$N - N_i \le N_i + 1$

Преобразуем это неравенство, чтобы выразить $N$:

$N - 1 \le 2N_i$

Применим это неравенство для Вани, который сыграл 12 партий ($N_В = 12$):

$N - 1 \le 2 \times 12$

$N - 1 \le 24$

$N \le 25$

Таким образом, общее количество сыгранных партий не может быть больше 25.

Теперь вернемся к уравнению $37 + N_П = 2N$ и выразим из него $N_П$: $N_П = 2N - 37$. Применим к Пете то же неравенство $N - 1 \le 2N_П$:

$N - 1 \le 2(2N - 37)$

$N - 1 \le 4N - 74$

Перенесем $N$ вправо, а 74 влево:

$73 \le 3N$

$N \ge \frac{73}{3}$

Так как $\frac{73}{3} = 24\frac{1}{3}$, а число партий $N$ должно быть целым, то $N \ge 25$.

Мы получили два условия для $N$: $N \le 25$ и $N \ge 25$. Единственное возможное значение — $N = 25$.

Итак, всего было сыграно 25 партий. По условию, Коля сыграл 25 партий. Чтобы найти, сколько партий Коля отдыхал, нужно из общего числа партий вычесть количество сыгранных им партий: $25 - 25 = 0$.

Объяснение ответа заключается в последовательности логических шагов, которые приводят к выводу, что общее число партий равно 25. Главным в этом рассуждении является тот факт, что из-за правил игры (отдыхающий заменяет проигравшего) ни один игрок не может отдыхать две партии подряд. Это ограничение позволяет вывести математические неравенства, которые, в сочетании с данными о количестве сыгранных партий, однозначно определяют общее число партий.

Ответ: 0