Номер 1034, страница 213, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

1034 Числовые головоломки

1) Какой цифрой оканчивается произведение:

$101 \cdot 102 \cdot 103 \cdot 104 \cdot 105 \cdot 106 \cdot 107 \cdot 108 \cdot 109$?

2) Какой цифрой оканчивается произведение 33 множителей, каждый из которых равен 3? Как записать это произведение с помощью лишь трёх троек?

3) Что надо поставить вместо звёздочки в записи $4 \ast 5$, чтобы получить число, большее четырёх, но меньшее пяти?

1) Чтобы найти последнюю цифру произведения, достаточно посмотреть на последние цифры множителей. В данном ряду чисел есть множитель 102 (оканчивается на 2) и множитель 105 (оканчивается на 5). Произведение числа, оканчивающегося на 2, и числа, оканчивающегося на 5, всегда будет оканчиваться на 0, так как $2 \cdot 5 = 10$. Поскольку в общем произведении будет множитель, оканчивающийся на 0 (результат умножения $102 \cdot 105$), то и всё итоговое произведение будет оканчиваться на 0.
Ответ: 0.

2) Произведение 33 множителей, каждый из которых равен 3, можно записать в виде степени $3^{33}$. Чтобы найти последнюю цифру этого числа, нужно проанализировать цикл последних цифр степеней тройки:
$3^1$ оканчивается на 3
$3^2$ оканчивается на 9
$3^3$ оканчивается на 7
$3^4$ оканчивается на 1
$3^5$ оканчивается на 3
Видно, что последние цифры повторяются с периодом (циклом) 4: (3, 9, 7, 1). Чтобы определить последнюю цифру для $3^{33}$, найдём остаток от деления показателя степени 33 на длину цикла 4.
$33 \div 4 = 8$ и 1 в остатке.
Остаток 1 соответствует первому элементу в цикле, то есть цифре 3. Значит, $3^{33}$ оканчивается на 3.
Записать это произведение с помощью трёх троек можно, используя степенную запись: $3^{33}$. В этой записи использованы три цифры «3»: одна в основании степени и две в показателе степени 33.
Ответ: Произведение оканчивается цифрой 3. Запись с помощью трёх троек: $3^{33}$.

3) Нам нужно получить число, которое больше четырёх, но меньше пяти. Это означает, что число должно находиться в интервале $(4, 5)$. Запись 4*5 может представлять такое число, если звёздочка является разделителем целой и дробной части. В русской традиции в качестве десятичного разделителя используется запятая. Если поставить запятую вместо звёздочки, мы получим число 4,5. Это число удовлетворяет условию $4 < 4,5 < 5$.
Ответ: Вместо звёздочки надо поставить запятую.