Номер 1144, страница 234, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

1144 В записи числа $38\text{*}6107\text{*}$ поставь вместо звёздочек цифры так, чтобы получилось число:

а) кратное 2;

б) кратное 5;

в) кратное 10;

г) кратное 100;

д) кратное 3;

е) кратное 9;

ж) кратное 2 и 3;

з) кратное 15;

и) кратное 45;

к) кратное 25;

л) кратное 8.

Для решения задачи будем исходить из того, что в записи числа $38 *61 07*$ звёздочки обозначают две неизвестные цифры. Обозначим первую неизвестную цифру (на месте сотен тысяч) как $X$, а вторую (на месте единиц) как $Y$. Тогда число можно записать в виде $38X6107Y$. Для нахождения $X$ и $Y$ будем применять признаки делимости чисел.

а) кратное 2
Признак делимости на 2: число делится на 2, если его последняя цифра чётная.

В числе $38X6107Y$ последняя цифра - это $Y$. Значит, $Y$ может быть любой из цифр: 0, 2, 4, 6, 8. Цифра $X$ может быть любой (от 0 до 9).

Выберем, например, $X=1$ и $Y=4$. Получим число 38 161 074.
Ответ: например, можно вставить цифры 1 и 4, получив число 38 161 074.

б) кратное 5
Признак делимости на 5: число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5.

Последняя цифра числа $38X6107Y$ - это $Y$. Следовательно, $Y$ может быть 0 или 5. Цифра $X$ может быть любой.

Выберем, например, $X=1$ и $Y=5$. Получим число 38 161 075.
Ответ: например, можно вставить цифры 1 и 5, получив число 38 161 075.

в) кратное 10
Признак делимости на 10: число делится на 10, если его последняя цифра 0.

Последняя цифра числа $38X6107Y$ - это $Y$. Следовательно, $Y$ должен быть равен 0. Цифра $X$ может быть любой.

Выберем, например, $X=1$ и $Y=0$. Получим число 38 161 070.
Ответ: например, можно вставить цифры 1 и 0, получив число 38 161 070.

г) кратное 100
Признак делимости на 100: число делится на 100, если две его последние цифры - нули.

Последние две цифры числа $38X6107Y$ - это $7Y$. Чтобы число делилось на 100, оно должно оканчиваться на 00. Это означало бы, что $7=0$ и $Y=0$. Но цифра 7 в записи числа задана и не равна 0. Следовательно, это условие невыполнимо.
Ответ: невозможно подобрать такие цифры.

д) кратное 3
Признак делимости на 3: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

Сумма известных цифр в числе $38X6107Y$ равна $3+8+6+1+0+7 = 25$. Общая сумма цифр равна $25+X+Y$. Эта сумма должна делиться на 3.

$25$ при делении на 3 дает остаток 1 ($25 = 3 \cdot 8 + 1$). Значит, $1+X+Y$ должно быть кратно 3. Сумма $X+Y$ может принимать значения 2, 5, 8, 11, 14, 17.

Выберем, например, $X=1$ и $Y=1$. Тогда $X+Y=2$, а сумма всех цифр $25+2=27$, что делится на 3. Получаем число 38 161 071.
Ответ: например, можно вставить цифры 1 и 1, получив число 38 161 071.

е) кратное 9
Признак делимости на 9: число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

Сумма цифр числа $38X6107Y$ равна $25+X+Y$. Эта сумма должна делиться на 9.

$25$ при делении на 9 дает остаток 7 ($25 = 9 \cdot 2 + 7$). Значит, $7+X+Y$ должно быть кратно 9. Сумма $X+Y$ может принимать значения 2 или 11.

Выберем, например, $X=2$ и $Y=0$. Тогда $X+Y=2$, а сумма всех цифр $25+2=27$, что делится на 9. Получаем число 38 261 070.
Ответ: например, можно вставить цифры 2 и 0, получив число 38 261 070.

ж) кратное 2 и 3
Чтобы число было кратно 2 и 3, оно должно быть кратно 6. Для этого оно должно делиться и на 2, и на 3.

1. Делимость на 2: последняя цифра $Y$ должна быть чётной ($Y \in \{0, 2, 4, 6, 8\}$).

2. Делимость на 3: сумма цифр $25+X+Y$ должна быть кратна 3, т.е. $X+Y$ должно давать в сумме 2, 5, 8, 11, 14 или 17.

Выберем $Y=2$ (чётная). Тогда $X+2$ должно давать в сумме 2, 5, 8, ... . Если $X+2=2$, то $X=0$.

Получаем число 38 061 072. Проверяем: последняя цифра 2 - чётная. Сумма цифр $25+0+2=27$ - делится на 3.
Ответ: например, можно вставить цифры 0 и 2, получив число 38 061 072.

з) кратное 15
Чтобы число было кратно 15, оно должно делиться на 3 и на 5 (т.к. $15=3 \cdot 5$).

1. Делимость на 5: последняя цифра $Y$ должна быть 0 или 5.

2. Делимость на 3: сумма $X+Y$ должна давать 2, 5, 8, 11, 14 или 17.

Выберем $Y=5$. Тогда $X+5$ должно давать в сумме 5, 8, 11, ... . Если $X+5=8$, то $X=3$.

Получаем число 38 361 075. Проверяем: последняя цифра 5 - делится на 5. Сумма цифр $25+3+5=33$ - делится на 3.
Ответ: например, можно вставить цифры 3 и 5, получив число 38 361 075.

и) кратное 45
Чтобы число было кратно 45, оно должно делиться на 5 и на 9 (т.к. $45=5 \cdot 9$).

1. Делимость на 5: последняя цифра $Y$ должна быть 0 или 5.

2. Делимость на 9: сумма $X+Y$ должна давать 2 или 11.

Выберем $Y=5$. Тогда $X+5$ должно давать в сумме 11. Отсюда $X=6$.

Получаем число 38 661 075. Проверяем: последняя цифра 5 - делится на 5. Сумма цифр $25+6+5=36$ - делится на 9.
Ответ: например, можно вставить цифры 6 и 5, получив число 38 661 075.

к) кратное 25
Признак делимости на 25: число делится на 25, если две его последние цифры образуют число, которое делится на 25 (т.е. 00, 25, 50 или 75).

Последние две цифры числа $38X6107Y$ образуют число $7Y$. Из возможных вариантов подходит только 75.

Следовательно, $Y=5$. Цифра $X$ может быть любой.

Выберем, например, $X=0$. Получим число 38 061 075.
Ответ: например, можно вставить цифры 0 и 5, получив число 38 061 075.

л) кратное 8
Признак делимости на 8: число делится на 8, если три его последние цифры образуют число, которое делится на 8.

Последние три цифры числа $38X6107Y$ - это $07Y$, что образует число $70+Y$.

Нам нужно, чтобы $70+Y$ делилось на 8. Проверяем значения $Y$ от 0 до 9.

$70+2=72$. $72 : 8 = 9$. Значит, $Y=2$.

Цифра $X$ может быть любой.

Выберем, например, $X=4$. Получим число 38 461 072.
Ответ: например, можно вставить цифры 4 и 2, получив число 38 461 072.