Номер 1151, страница 235, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

1151 Сократи дроби с натуральными числителями и знаменателями:

1) $\frac{5^4}{5}$;

2) $\frac{5940}{46200}$;

3) $\frac{2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7^3}{2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7^2 \cdot 11}$;

4) $\frac{18a^2bc}{24ab^2}$;

5) $\frac{32 \cdot 7 - 32 \cdot 2}{320}$;

6) $\frac{3a + a}{6a^2}$.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{5^4}{5}$, воспользуемся свойством степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$. В знаменателе стоит число 5, что равно $5^1$.
$\frac{5^4}{5} = \frac{5^4}{5^1} = 5^{4-1} = 5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.
Ответ: $125$.

2) Чтобы сократить дробь $\frac{5940}{46200}$, разложим числитель и знаменатель на простые множители.
Числитель: $5940 = 10 \cdot 594 = (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 297) = 2^2 \cdot 5 \cdot (3 \cdot 99) = 2^2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot (9 \cdot 11) = 2^2 \cdot 3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 11 = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 11$.
Знаменатель: $46200 = 100 \cdot 462 = (10^2) \cdot (2 \cdot 231) = (2 \cdot 5)^2 \cdot 2 \cdot (3 \cdot 77) = 2^2 \cdot 5^2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot (7 \cdot 11) = 2^3 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 11$.
Теперь подставим разложения в дробь и сократим общие множители:
$\frac{5940}{46200} = \frac{2^2 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 11}{2^3 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 11} = \frac{3^{3-1}}{2^{3-2} \cdot 5^{2-1} \cdot 7} = \frac{3^2}{2 \cdot 5 \cdot 7} = \frac{9}{70}$.
Ответ: $\frac{9}{70}$.

3) В дроби $\frac{2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7^3}{2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7^2 \cdot 11}$ числитель и знаменатель уже представлены в виде произведения множителей. Сократим степени с одинаковыми основаниями, используя правило $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
$\frac{2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7^3}{2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7^2 \cdot 11} = \frac{3^{2-1} \cdot 7^{3-2}}{2^{2-1} \cdot 11} = \frac{3^1 \cdot 7^1}{2^1 \cdot 11} = \frac{3 \cdot 7}{2 \cdot 11} = \frac{21}{22}$.
Множитель 5 сокращается, так как $5/5 = 1$.
Ответ: $\frac{21}{22}$.

4) Чтобы сократить алгебраическую дробь $\frac{18a^2bc}{24ab^2}$, сократим числовые коэффициенты и переменные по отдельности.
Сократим коэффициенты: $\frac{18}{24}$. Наибольший общий делитель (НОД) для 18 и 24 равен 6. $\frac{18 \div 6}{24 \div 6} = \frac{3}{4}$.
Сократим переменные:
Для $a$: $\frac{a^2}{a} = a^{2-1} = a$.
Для $b$: $\frac{b}{b^2} = \frac{1}{b^{2-1}} = \frac{1}{b}$.
Переменная $c$ остается в числителе.
Объединяем полученные части: $\frac{3}{4} \cdot a \cdot \frac{1}{b} \cdot c = \frac{3ac}{4b}$.
Ответ: $\frac{3ac}{4b}$.

5) В дроби $\frac{32 \cdot 7 - 32 \cdot 2}{320}$ упростим числитель, вынеся общий множитель 32 за скобки.
$32 \cdot 7 - 32 \cdot 2 = 32 \cdot (7 - 2) = 32 \cdot 5$.
Теперь дробь имеет вид: $\frac{32 \cdot 5}{320}$.
Знаменатель 320 можно представить как $32 \cdot 10$.
Подставим это в дробь: $\frac{32 \cdot 5}{32 \cdot 10}$.
Сокращаем общий множитель 32: $\frac{5}{10}$.
Сокращаем полученную дробь на 5: $\frac{5 \div 5}{10 \div 5} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

6) В дроби $\frac{3a + a}{6a^2}$ сначала упростим числитель, сложив подобные слагаемые.
$3a + a = 4a$.
Дробь принимает вид $\frac{4a}{6a^2}$.
Теперь сократим числовые коэффициенты и переменные.
Коэффициенты: $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
Переменные: $\frac{a}{a^2} = \frac{1}{a}$.
Объединяем результаты: $\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{a} = \frac{2}{3a}$.
Ответ: $\frac{2}{3a}$.