Номер 1148, страница 234, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

1148 Среди дробей $\frac{5}{17}$, $\frac{24}{3}$, $\frac{9}{9}$, $\frac{7}{2}$, $\frac{14}{245}$, $\frac{1}{56}$, $\frac{48}{48}$ найди:

а) правильные дроби;

б) неправильные дроби;

в) сократимые дроби;

г) несократимые дроби.

а) правильные дроби

Правильной называется дробь, у которой числитель меньше знаменателя ($a < b$ для дроби $ \frac{a}{b} $). Проанализируем каждую дробь из списка: $ \frac{5}{17}, \frac{24}{3}, \frac{9}{9}, \frac{7}{2}, \frac{14}{245}, \frac{1}{56}, \frac{48}{48} $.

- $ \frac{5}{17} $: числитель $5$ меньше знаменателя $17$ ($5 < 17$), следовательно, дробь правильная.

- $ \frac{24}{3} $: числитель $24$ больше знаменателя $3$ ($24 > 3$), дробь не является правильной.

- $ \frac{9}{9} $: числитель $9$ равен знаменателю $9$ ($9 = 9$), дробь не является правильной.

- $ \frac{7}{2} $: числитель $7$ больше знаменателя $2$ ($7 > 2$), дробь не является правильной.

- $ \frac{14}{245} $: числитель $14$ меньше знаменателя $245$ ($14 < 245$), следовательно, дробь правильная.

- $ \frac{1}{56} $: числитель $1$ меньше знаменателя $56$ ($1 < 56$), следовательно, дробь правильная.

- $ \frac{48}{48} $: числитель $48$ равен знаменателю $48$ ($48 = 48$), дробь не является правильной.

Ответ: $ \frac{5}{17}, \frac{14}{245}, \frac{1}{56} $.

б) неправильные дроби

Неправильной называется дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю ($a \ge b$ для дроби $ \frac{a}{b} $). Проанализируем дроби:

- $ \frac{5}{17} $: числитель меньше знаменателя ($5 < 17$), дробь не является неправильной.

- $ \frac{24}{3} $: числитель больше знаменателя ($24 > 3$), следовательно, дробь неправильная.

- $ \frac{9}{9} $: числитель равен знаменателю ($9 = 9$), следовательно, дробь неправильная.

- $ \frac{7}{2} $: числитель больше знаменателя ($7 > 2$), следовательно, дробь неправильная.

- $ \frac{14}{245} $: числитель меньше знаменателя ($14 < 245$), дробь не является неправильной.

- $ \frac{1}{56} $: числитель меньше знаменателя ($1 < 56$), дробь не является неправильной.

- $ \frac{48}{48} $: числитель равен знаменателю ($48 = 48$), следовательно, дробь неправильная.

Ответ: $ \frac{24}{3}, \frac{9}{9}, \frac{7}{2}, \frac{48}{48} $.

в) сократимые дроби

Сократимой называется дробь, у которой числитель и знаменатель имеют общий делитель, больший 1. Найдем наибольший общий делитель (НОД) для каждой дроби:

- $ \frac{5}{17} $: Числа $5$ и $17$ являются простыми. НОД(5, 17) = 1. Дробь несократимая.

- $ \frac{24}{3} $: Число $24$ делится на $3$ ($24 = 3 \cdot 8$). НОД(24, 3) = 3. Дробь сократимая.

- $ \frac{9}{9} $: НОД(9, 9) = 9. Дробь сократимая.

- $ \frac{7}{2} $: Числа $7$ и $2$ являются простыми. НОД(7, 2) = 1. Дробь несократимая.

- $ \frac{14}{245} $: Разложим на множители: $14 = 2 \cdot 7$, $245 = 5 \cdot 49 = 5 \cdot 7^2$. Общий множитель равен $7$. НОД(14, 245) = 7. Дробь сократимая.

- $ \frac{1}{56} $: НОД(1, 56) = 1. Дробь несократимая.

- $ \frac{48}{48} $: НОД(48, 48) = 48. Дробь сократимая.

Ответ: $ \frac{24}{3}, \frac{9}{9}, \frac{14}{245}, \frac{48}{48} $.

г) несократимые дроби

Несократимой называется дробь, у которой числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами, то есть их НОД равен 1. Используя анализ из предыдущего пункта:

- $ \frac{5}{17} $: НОД(5, 17) = 1. Дробь несократимая.

- $ \frac{24}{3} $: НОД(24, 3) = 3. Дробь сократимая.

- $ \frac{9}{9} $: НОД(9, 9) = 9. Дробь сократимая.

- $ \frac{7}{2} $: НОД(7, 2) = 1. Дробь несократимая.

- $ \frac{14}{245} $: НОД(14, 245) = 7. Дробь сократимая.

- $ \frac{1}{56} $: НОД(1, 56) = 1. Дробь несократимая.

- $ \frac{48}{48} $: НОД(48, 48) = 48. Дробь сократимая.

Ответ: $ \frac{5}{17}, \frac{7}{2}, \frac{1}{56} $.