Номер 1146, страница 234, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

1146 Докажи или опровергни высказывание.

1) Каждый элемент множества $A = \{2, 4, 6, 10, 24, 60\}$ является делителем числа 240.

2) Все делители числа 240 - чётные числа.

3) Сумма любых двух нечётных чисел и чётного числа есть число чётное.

4) Существуют двузначные делители числа 8.

5) $\exists x \in N (x^2 = 5x)$.

6) Круг, квадрат, шар и цилиндр – плоские фигуры.

1)

Чтобы проверить это высказывание, нужно разделить число 240 на каждый элемент множества А и убедиться, что деление происходит без остатка.
$240 : 2 = 120$
$240 : 4 = 60$
$240 : 6 = 40$
$240 : 10 = 24$
$240 : 24 = 10$
$240 : 60 = 4$
Все элементы множества А являются делителями числа 240. Следовательно, высказывание верно.
Ответ: Верно.

2)

Высказывание неверно. Чтобы его опровергнуть, достаточно найти хотя бы один нечётный делитель числа 240. Например, число 1 является делителем любого целого числа, и 1 — нечётное число. Также можно разложить 240 на простые множители: $240 = 2^4 \cdot 3 \cdot 5$. Из разложения видно, что числа 3, 5 и их произведение 15 являются нечётными делителями числа 240.
Ответ: Неверно.

3)

Высказывание верно. Возьмём два любых нечётных числа и одно чётное. Сумма двух нечётных чисел всегда является чётным числом (например, $3+5=8$). Сумма двух чётных чисел также всегда является чётным числом (например, $8+4=12$). Таким образом, (нечётное + нечётное) + чётное = чётное + чётное = чётное.

Алгебраически: пусть нечётные числа равны $2k+1$ и $2m+1$, а чётное число равно $2n$, где $k, m, n$ — целые числа.

Их сумма: $(2k+1) + (2m+1) + 2n = 2k + 2m + 2n + 2 = 2(k+m+n+1)$.

Так как результат можно представить в виде $2 \cdot \text{целое число}$, он всегда является чётным.
Ответ: Верно.

4)

Высказывание неверно. Найдём все натуральные делители числа 8. Это числа, на которые 8 делится без остатка: 1, 2, 4, 8. Ни одно из этих чисел не является двузначным (двузначные числа — это целые числа от 10 до 99).
Ответ: Неверно.

5)

Высказывание означает: "Существует такое натуральное число $x$, для которого верно равенство $x^2 = 5x$". Решим это уравнение.
$x^2 = 5x$
$x^2 - 5x = 0$
$x(x-5) = 0$
Уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$.
Множество натуральных чисел $N$ — это $\{1, 2, 3, ...\}$. Число 0 не является натуральным, а число 5 является. Так как мы нашли хотя бы одно натуральное число ($x=5$), удовлетворяющее условию, высказывание верно.
Ответ: Верно.

6)

Высказывание неверно. Плоские фигуры — это фигуры, которые целиком лежат в одной плоскости. Круг и квадрат являются плоскими фигурами. Однако шар и цилиндр — это объёмные (пространственные) фигуры, их невозможно расположить в одной плоскости. Так как не все перечисленные объекты являются плоскими фигурами, утверждение в целом ложно.
Ответ: Неверно.