Номер 244, страница 48, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

244* На волшебном дереве выросли 15 бананов и 20 апельсинов. Если сорвать один из плодов – вырастет такой же, если одновременно сорвать два одинаковых плода – вырастет апельсин, а если одновременно сорвать два разных плода – вырастет банан. Как надо срывать плоды, чтобы в какой-то момент на дереве остался ровно один плод? Какой это будет плод? Можно ли срывать плоды так, чтобы через некоторое время на дереве ничего не осталось?

Как надо срывать плоды, чтобы в какой-то момент на дереве остался ровно один плод? Какой это будет плод?

Для решения этой задачи проанализируем, как меняется количество бананов и апельсинов при каждой операции. Обозначим количество бананов за $Б$, а количество апельсинов за $А$. Изначально у нас $Б = 15$ и $А = 20$.

Правило "если сорвать один из плодов – вырастет такой же" не меняет общее количество плодов, поэтому для решения задачи оно бесполезно. Рассмотрим три операции, которые уменьшают количество плодов:

1. Сорвать два банана: количество бананов уменьшается на 2, а количество апельсинов увеличивается на 1. Изменение: $Б \rightarrow Б - 2$, $А \rightarrow А + 1$.
2. Сорвать два апельсина: количество апельсинов уменьшается на 2, а потом увеличивается на 1. Изменение: $Б \rightarrow Б$, $А \rightarrow А - 1$.
3. Сорвать банан и апельсин: срывается один банан и один апельсин, но вырастает новый банан. Изменение: $Б \rightarrow Б - 1 + 1 = Б$, $А \rightarrow А - 1$.

Ключевым моментом является четность количества бананов. Изначально на дереве 15 бананов, то есть нечетное число.

Рассмотрим, как меняется четность числа бананов:

• При срывании двух бананов ($Б \rightarrow Б - 2$) четность числа бананов не меняется (нечетное - 2 = нечетное, четное - 2 = четное).
• При срывании двух апельсинов количество бананов не меняется, значит, и четность не меняется.
• При срывании банана и апельсина количество бананов не меняется, и четность тоже не меняется.

Таким образом, ни одна из операций не меняет четность количества бананов. Поскольку изначально их было нечетное число (15), их всегда будет оставаться нечетное число. Если в конце на дереве должен остаться ровно один плод, это может быть либо банан ($Б = 1, А = 0$), либо апельсин ($Б = 0, А = 1$). Так как количество бананов всегда должно быть нечетным, вариант $Б=0$ (четное число) невозможен. Следовательно, последний оставшийся плод может быть только бананом.

Теперь опишем алгоритм, как этого добиться:

Цель — оставить 1 банан и 0 апельсинов. Для этого нужно избавляться от апельсинов. Заметим, что операции 2 и 3 (срывание двух апельсинов или банана и апельсина) приводят к одинаковому результату: количество апельсинов уменьшается на 1, а количество бананов не меняется.

1. Пока на дереве есть и бананы, и апельсины (у нас $Б=15, А=20$), срываем 1 банан и 1 апельсин. После каждой такой операции количество апельсинов будет уменьшаться на 1. Повторим эту операцию 20 раз. В результате на дереве не останется апельсинов, а количество бананов не изменится. Получим: $Б=15, А=0$.
2. Теперь на дереве 15 бананов. Единственное, что мы можем сделать, — сорвать 2 банана. После этого на дереве станет $Б = 15 - 2 = 13$ бананов и вырастет $А = 1$ апельсин. Состояние: $Б=13, А=1$.
3. Мы снова в ситуации, когда есть и бананы, и апельсин. Срываем 1 банан и 1 апельсин. Количество бананов не изменится, а апельсин исчезнет. Состояние: $Б=13, А=0$.
4. Повторяем шаги 2 и 3. Каждая такая пара действий (срыв 2 бананов, затем срыв банана и апельсина) уменьшает количество бананов на 2.
   $Б=15 \rightarrow Б=13 \rightarrow Б=11 \rightarrow Б=9 \rightarrow Б=7 \rightarrow Б=5 \rightarrow Б=3$.
5. Когда у нас $Б=3, А=0$, мы срываем 2 банана. Получаем $Б=1, А=1$.
6. Наконец, срываем последний банан и последний апельсин. Вырастает один банан. На дереве остается $Б=1, А=0$.

Ответ: Чтобы на дереве остался один плод, нужно попеременно применять операции, уменьшающие число апельсинов до нуля, а затем уменьшающие число бананов парами. Последним плодом на дереве обязательно будет банан, так как четность количества бананов в процессе срывания не меняется.

Можно ли срывать плоды так, чтобы через некоторое время на дереве ничего не осталось?

Каждая из возможных операций (срывание двух одинаковых или двух разных плодов) уменьшает общее количество плодов на дереве ровно на 1 (2 сорвали, 1 вырос). Изначально на дереве было $15 + 20 = 35$ плодов. Чтобы на дереве не осталось ничего, то есть 0 плодов, нужно выполнить 35 таких операций. Однако после 34-й операции на дереве останется $35 - 34 = 1$ плод. Для выполнения следующей операции необходимо сорвать два плода, но на дереве будет только один. Следовательно, 35-ю операцию выполнить невозможно.

Ответ: Нет, нельзя. Процесс остановится, когда на дереве останется один плод, так как для дальнейших действий требуется срывать два плода.