Номер 251, страница 50, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

251 Запиши две смешанные дроби так, чтобы

выполнялось одно из условий:

1) одна из дробей больше другой на $4\frac{7}{8}$;

2) разность дробей равна меньшей дроби;

3) сумма дробей равна натуральному числу.

1) одна из дробей больше другой на $4\frac{7}{8}$

По условию, одна дробь должна быть больше другой на $4\frac{7}{8}$. Это значит, что разность между большей и меньшей дробью равна $4\frac{7}{8}$. Обозначим две смешанные дроби как $A$ и $B$, где $A > B$. Тогда их разность равна $A - B = 4\frac{7}{8}$.

Чтобы найти пару таких дробей, мы можем выбрать любую смешанную дробь для $B$ и вычислить $A$ по формуле $A = B + 4\frac{7}{8}$.

Возьмем, к примеру, в качестве меньшей дроби $B = 1\frac{1}{2}$. Тогда вторая, большая дробь, будет равна:

$A = 1\frac{1}{2} + 4\frac{7}{8}$

Для сложения приведем дробные части к общему знаменателю 8. Дробь $\frac{1}{2}$ равна $\frac{4}{8}$.

$A = 1\frac{4}{8} + 4\frac{7}{8}$

Сложим целые и дробные части по отдельности:

$A = (1+4) + (\frac{4}{8} + \frac{7}{8}) = 5 + \frac{11}{8}$

Дробь $\frac{11}{8}$ является неправильной. Преобразуем ее в смешанное число: $\frac{11}{8} = 1\frac{3}{8}$.

Теперь добавим это к целой части:

$A = 5 + 1\frac{3}{8} = 6\frac{3}{8}$

Таким образом, мы получили две смешанные дроби, удовлетворяющие условию: $6\frac{3}{8}$ и $1\frac{1}{2}$.

Проверка: $6\frac{3}{8} - 1\frac{1}{2} = 6\frac{3}{8} - 1\frac{4}{8} = 5\frac{11}{8} - 1\frac{4}{8} = 4\frac{7}{8}$.

Ответ: $6\frac{3}{8}$ и $1\frac{1}{2}$.

2) разность дробей равна меньшей дроби

По условию, разность двух смешанных дробей равна меньшей из них. Обозначим дроби как $A$ и $B$, где $A > B$. Условие можно записать в виде уравнения: $A - B = B$.

Из этого уравнения следует, что $A = B + B$, или $A = 2B$. Это означает, что большая дробь должна быть в два раза больше меньшей.

Выберем произвольную смешанную дробь $B$, например, $B = 1\frac{1}{3}$. Тогда найдем $A$:

$A = 2 \times 1\frac{1}{3}$

Для выполнения умножения представим смешанную дробь в виде неправильной:

$1\frac{1}{3} = \frac{1 \times 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$

Теперь умножим на 2:

$A = 2 \times \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$

Преобразуем результат обратно в смешанную дробь:

$\frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$

Итак, мы получили пару смешанных дробей: $2\frac{2}{3}$ и $1\frac{1}{3}$. Обе дроби являются смешанными, и условие выполняется.

Проверка: разность $2\frac{2}{3} - 1\frac{1}{3} = 1\frac{1}{3}$, что равно меньшей дроби.

Ответ: $2\frac{2}{3}$ и $1\frac{1}{3}$.

3) сумма дробей равна натуральному числу

По условию, сумма двух смешанных дробей должна быть равна натуральному числу. Пусть наши дроби $A$ и $B$. Каждую смешанную дробь можно представить как сумму ее целой и дробной части. $A = I_A + F_A$ и $B = I_B + F_B$.

Их сумма равна $A + B = (I_A + I_B) + (F_A + F_B)$. Чтобы эта сумма была натуральным числом, сумма дробных частей $F_A + F_B$ также должна быть целым числом.

Поскольку $F_A$ и $F_B$ — это правильные дроби (каждая больше 0 и меньше 1), их сумма $F_A + F_B$ больше 0 и меньше 2. Единственное целое число в этом интервале — это 1. Следовательно, $F_A + F_B = 1$.

Таким образом, нам нужно найти две смешанные дроби, у которых сумма дробных частей равна 1. Целые части при этом могут быть любыми.

Выберем дробную часть первой дроби, например, $\frac{1}{4}$. Тогда дробная часть второй дроби должна быть $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

Теперь выберем произвольные целые части, например, 2 и 3. Получим две смешанные дроби: $2\frac{1}{4}$ и $3\frac{3}{4}$.

Найдем их сумму для проверки:

$2\frac{1}{4} + 3\frac{3}{4} = (2+3) + (\frac{1}{4} + \frac{3}{4}) = 5 + \frac{4}{4} = 5 + 1 = 6$.

Сумма равна 6, что является натуральным числом. Условие выполнено.

Ответ: $2\frac{1}{4}$ и $3\frac{3}{4}$.