Номер 258, страница 52, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

258 Вычисли: $1 - \frac{1}{2}$; $2 - \frac{1}{3}$; $3 - \frac{1}{4}$; $4 - \frac{1}{5}$ ... Какие числа будут получаться, если продолжить эту цепочку разностей, сохраняя правило? Чему равна разность, стоящая на 100-м месте?

Вычислим первые члены последовательности:

Для начала вычислим значения первых нескольких разностей, чтобы увидеть закономерность.

1. $1 - \frac{1}{2} = \frac{2}{2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

2. $2 - \frac{1}{3} = \frac{6}{3} - \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$

3. $3 - \frac{1}{4} = \frac{12}{4} - \frac{1}{4} = \frac{11}{4}$

4. $4 - \frac{1}{5} = \frac{20}{5} - \frac{1}{5} = \frac{19}{5}$

Какие числа будут получаться, если продолжить эту цепочку разностей, сохраняя правило?

Проанализировав данную цепочку, можно установить правило (общую формулу) для нахождения любого члена последовательности. Член последовательности, стоящий на n-ом месте (обозначим его a_n), формируется по следующему принципу: из натурального числа n вычитается дробь $\frac{1}{n+1}$.

Таким образом, общая формула для n-го члена последовательности выглядит так:

$a_n = n - \frac{1}{n+1}$

Можно привести это выражение к виду неправильной дроби, чтобы получить другую форму записи:

$a_n = \frac{n(n+1)}{n+1} - \frac{1}{n+1} = \frac{n^2 + n - 1}{n+1}$

Если продолжить эту цепочку, будут получаться рациональные числа, каждое из которых можно рассчитать по данной формуле для соответствующего номера n.

Ответ: При продолжении цепочки будут получаться числа, вычисляемые по общей формуле $a_n = n - \frac{1}{n+1}$ (или $a_n = \frac{n^2 + n - 1}{n+1}$), где $n = 1, 2, 3, ...$ — номер члена в последовательности.

Чему равна разность, стоящая на 100-м месте?

Чтобы найти разность, стоящую на 100-м месте, необходимо в общую формулу подставить $n=100$.

Воспользуемся формулой $a_n = n - \frac{1}{n+1}$:

$a_{100} = 100 - \frac{1}{100+1} = 100 - \frac{1}{101}$

Теперь выполним вычитание, приведя числа к общему знаменателю:

$100 - \frac{1}{101} = \frac{100 \times 101}{101} - \frac{1}{101} = \frac{10100}{101} - \frac{1}{101} = \frac{10100 - 1}{101} = \frac{10099}{101}$

Это значение также можно записать в виде смешанного числа $99 \frac{100}{101}$.

Ответ: $\frac{10099}{101}$.