Номер 263, страница 53, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

263 В числителе дроби стоит число 123456789101112131415...272829, а в зна-

менателе – число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке: 92827262...321. Сократима ли эта дробь?

Чтобы определить, сократима ли дробь, необходимо выяснить, имеют ли ее числитель и знаменатель общий делитель, который больше 1.

Обозначим числитель как $A$, а знаменатель как $B$.

$A = 123456789101112...272829$

$B = 92827262...321$

Проверим, делятся ли оба числа на 3. Для этого воспользуемся признаком делимости на 3: число делится на 3 без остатка, если сумма его цифр делится на 3.

Знаменатель $B$ состоит из тех же самых цифр, что и числитель $A$, но они записаны в обратном порядке. Это означает, что сумма цифр числителя $A$ равна сумме цифр знаменателя $B$. Найдем эту сумму.

Число $A$ образовано последовательной записью всех целых чисел от 1 до 29. Чтобы найти сумму всех его цифр, разобьем вычисления на несколько этапов:

1. Сумма цифр в числах от 1 до 9:

$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45$.

2. Сумма цифр в числах от 10 до 19:

В этих десяти числах (10, 11, ..., 19) цифра 1 в разряде десятков встречается 10 раз, их сумма равна $1 \cdot 10 = 10$.

Сумма цифр в разряде единиц (от 0 до 9) равна $0 + 1 + 2 + ... + 9 = 45$.

Общая сумма для этого диапазона: $10 + 45 = 55$.

3. Сумма цифр в числах от 20 до 29:

В этих десяти числах (20, 21, ..., 29) цифра 2 в разряде десятков встречается 10 раз, их сумма равна $2 \cdot 10 = 20$.

Сумма цифр в разряде единиц (от 0 до 9) равна $0 + 1 + 2 + ... + 9 = 45$.

Общая сумма для этого диапазона: $20 + 45 = 65$.

Теперь сложим полученные суммы, чтобы найти общую сумму цифр $S$ для числа $A$ (и, соответственно, для $B$):

$S = 45 + 55 + 65 = 165$.

Проверим, делится ли полученная сумма $S=165$ на 3:

$165 \div 3 = 55$.

Да, сумма цифр делится на 3.

Поскольку сумма цифр числа $A$ равна 165 и делится на 3, то и само число $A$ делится на 3.

Аналогично, поскольку сумма цифр числа $B$ также равна 165 и делится на 3, то и число $B$ делится на 3.

Таким образом, и числитель, и знаменатель дроби имеют общий делитель 3. Следовательно, дробь можно сократить на 3.

Ответ: да, эта дробь сократима.