Номер 269, страница 54, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

269 БЛИЦтурнир

1) Велосипедист едет со скоростью $c$ м/мин. Навстречу ему движется автобус. Расстояние между ними за 5 мин сократилось на $d$ м. Чему равна скорость автобуса?

2) Милиционер преследует нарушителя. За 8 мин расстояние между ними сократилось на $k$ м. Сейчас между ними $s$ м. Через сколько времени милиционер догонит нарушителя?

3) Путешественник прошёл за первый день $a$ км, за второй $\frac{3}{4}$ расстояния, пройденного в первый день, а за третий день — $70\%$ этого же расстояния. Какое расстояние прошёл путешественник за 3 дня?

4) Площадь комнаты равна $b$ м$^2$, что составляет $40\%$ площади второй комнаты. На сколько площадь второй комнаты больше площади первой?

5) Длина аквариума $n$ дм, ширина – в 2 раза меньше, а высота – на 3 дм меньше длины. Сколько воды требуется налить в пустой аквариум, если уровень воды должен быть ниже верхнего края аквариума на 1 дм?

6) Один маляр может покрасить забор за $x$ ч, а другой – за $y$ ч. Какую часть забора смогут они покрасить за 2 ч, работая вместе с той же производительностью?

1)

Обозначим скорость автобуса за $v_{а}$ (м/мин). Велосипедист и автобус движутся навстречу друг другу, поэтому их скорости складываются. Скорость сближения $v_{сбл}$ равна сумме их скоростей: $v_{сбл} = c + v_{а}$.

За 5 минут расстояние между ними сократилось на $d$ метров. Скорость сближения можно также найти, разделив это расстояние на время:

$v_{сбл} = \frac{d}{5}$ м/мин.

Приравняем два выражения для скорости сближения:

$c + v_{а} = \frac{d}{5}$

Отсюда выразим скорость автобуса $v_{а}$:

$v_{а} = \frac{d}{5} - c$

Ответ: скорость автобуса равна $(\frac{d}{5} - c)$ м/мин.

2)

Сначала найдем скорость сближения (скорость погони). За 8 минут расстояние сократилось на $k$ метров. Значит, скорость сближения $v_{сбл}$ равна:

$v_{сбл} = \frac{k}{8}$ м/мин.

Это постоянная скорость, с которой милиционер догоняет нарушителя. Теперь нужно определить, сколько времени потребуется, чтобы с этой скоростью преодолеть оставшееся расстояние $s$ м. Для этого разделим расстояние на скорость сближения:

$t = \frac{s}{v_{сбл}} = \frac{s}{\frac{k}{8}} = \frac{8s}{k}$

Ответ: милиционер догонит нарушителя через $\frac{8s}{k}$ мин.

3)

Найдем расстояние, которое путешественник проходил каждый день:

День 1: $a$ км.

День 2: $\frac{3}{4}$ от расстояния первого дня, то есть $\frac{3}{4}a$ км.

День 3: 70% от расстояния первого дня. Переведем проценты в десятичную дробь: $70\% = 0.7$. Расстояние равно $0.7a$ км.

Чтобы найти общее расстояние за 3 дня, сложим расстояния за каждый день:

$S = a + \frac{3}{4}a + 0.7a$

Для удобства сложения представим все коэффициенты в виде десятичных дробей ($\frac{3}{4} = 0.75$):

$S = a + 0.75a + 0.7a = (1 + 0.75 + 0.7)a = 2.45a$

Ответ: за 3 дня путешественник прошёл $2.45a$ км.

4)

Площадь первой комнаты $S_1 = b$ м². Эта площадь составляет 40% от площади второй комнаты $S_2$. Запишем это в виде уравнения, где $40\% = 0.4$:

$b = 0.4 \cdot S_2$

Найдем площадь второй комнаты $S_2$:

$S_2 = \frac{b}{0.4} = \frac{b}{\frac{4}{10}} = \frac{10b}{4} = 2.5b$ м².

Вопрос "на сколько площадь второй комнаты больше площади первой" требует найти разность $S_2 - S_1$:

$S_2 - S_1 = 2.5b - b = 1.5b$

Ответ: площадь второй комнаты больше площади первой на $1.5b$ м².

5)

Определим размеры аквариума и высоту воды в нем в дециметрах:

Длина: $l = n$ дм.

Ширина: в 2 раза меньше длины, т.е. $w = \frac{n}{2}$ дм.

Высота аквариума: на 3 дм меньше длины, т.е. $h_{акв} = n - 3$ дм.

Уровень воды должен быть на 1 дм ниже верхнего края, значит, высота столба воды равна:

$h_{воды} = h_{акв} - 1 = (n - 3) - 1 = n - 4$ дм.

Объем воды $V$ равен произведению длины, ширины и высоты столба воды:

$V = l \cdot w \cdot h_{воды} = n \cdot \frac{n}{2} \cdot (n - 4) = \frac{n^2(n - 4)}{2}$

Ответ: требуется налить $\frac{n^2(n - 4)}{2}$ дм³ воды.

6)

Производительность (часть забора в час) первого маляра равна $\frac{1}{x}$.

Производительность второго маляра равна $\frac{1}{y}$.

При совместной работе их производительности складываются. Общая производительность $P_{общ}$ равна:

$P_{общ} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$

Приведем к общему знаменателю:

$P_{общ} = \frac{y}{xy} + \frac{x}{xy} = \frac{x+y}{xy}$

Чтобы найти, какую часть забора они покрасят за 2 часа, нужно их общую производительность умножить на время:

$A = P_{общ} \cdot 2 = \frac{x+y}{xy} \cdot 2 = \frac{2(x+y)}{xy}$

Ответ: за 2 часа они покрасят $\frac{2(x+y)}{xy}$ часть забора.