Номер 267, страница 53, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

267 1) Сравни данные дроби, подбирая натуральное или дробное число, расположенное между ними:

а) $\frac{38}{23}$ и $\frac{98}{47}$;

б) $\frac{23}{38}$ и $\frac{47}{98}$;

в) $\frac{238}{107}$ и $\frac{623}{345}$;

г) $\frac{107}{238}$ и $\frac{345}{623}$;

д) $\frac{612}{111}$ и $\frac{8586}{1401}$;

е) $\frac{111}{612}$ и $\frac{1401}{8586}$.

Образец: $\frac{531}{124} < \frac{697}{125}$, так как $\frac{531}{124} < 5 < \frac{697}{125}$.

2) Сравни примеры каждого столбика. Что ты замечаешь?

Закончи предложение: Если $\frac{a}{b} > \frac{c}{d}$, то... $(a, b, c, d \in N)$

1)

а) Сравним дроби $\frac{38}{23}$ и $\frac{98}{47}$.

Выделим целую часть из каждой дроби. Первая дробь: $\frac{38}{23} = 1 \frac{15}{23}$. Эта дробь больше 1, но меньше 2.

Вторая дробь: $\frac{98}{47} = 2 \frac{4}{47}$. Эта дробь больше 2.

Таким образом, между этими дробями находится натуральное число 2: $\frac{38}{23} < 2 < \frac{98}{47}$.

Следовательно, $\frac{38}{23} < \frac{98}{47}$.

Ответ: $\frac{38}{23} < \frac{98}{47}$.

б) Сравним дроби $\frac{23}{38}$ и $\frac{47}{98}$.

Это правильные дроби. Попробуем найти между ними дробное число, например, $\frac{1}{2}$.

Сравним $\frac{23}{38}$ и $\frac{1}{2}$. Приведем к общему знаменателю: $\frac{23 \cdot 2}{38 \cdot 2} = \frac{46}{76}$ и $\frac{1 \cdot 38}{2 \cdot 38} = \frac{38}{76}$. Так как $46 > 38$, то $\frac{23}{38} > \frac{1}{2}$.

Сравним $\frac{47}{98}$ и $\frac{1}{2}$. Приведем к общему знаменателю: $\frac{47 \cdot 2}{98 \cdot 2} = \frac{94}{196}$ и $\frac{1 \cdot 98}{2 \cdot 98} = \frac{98}{196}$. Так как $94 < 98$, то $\frac{47}{98} < \frac{1}{2}$.

Мы получили, что $\frac{47}{98} < \frac{1}{2} < \frac{23}{38}$.

Следовательно, $\frac{23}{38} > \frac{47}{98}$.

Ответ: $\frac{23}{38} > \frac{47}{98}$.

в) Сравним дроби $\frac{238}{107}$ и $\frac{623}{345}$.

Выделим целую часть из каждой дроби. Первая дробь: $\frac{238}{107} = 2 \frac{24}{107}$. Эта дробь больше 2.

Вторая дробь: $\frac{623}{345} = 1 \frac{278}{345}$. Эта дробь меньше 2.

Таким образом, между этими дробями находится натуральное число 2: $\frac{623}{345} < 2 < \frac{238}{107}$.

Следовательно, $\frac{238}{107} > \frac{623}{345}$.

Ответ: $\frac{238}{107} > \frac{623}{345}$.

г) Сравним дроби $\frac{107}{238}$ и $\frac{345}{623}$.

Это правильные дроби. Сравним их с дробным числом $\frac{1}{2}$.

Сравним $\frac{107}{238}$ и $\frac{1}{2}$. Так как $107 \cdot 2 = 214$, а $214 < 238$, то $\frac{107}{238} < \frac{1}{2}$.

Сравним $\frac{345}{623}$ и $\frac{1}{2}$. Так как $345 \cdot 2 = 690$, а $690 > 623$, то $\frac{345}{623} > \frac{1}{2}$.

Мы получили, что $\frac{107}{238} < \frac{1}{2} < \frac{345}{623}$.

Следовательно, $\frac{107}{238} < \frac{345}{623}$.

Ответ: $\frac{107}{238} < \frac{345}{623}$.

д) Сравним дроби $\frac{612}{111}$ и $\frac{8586}{1401}$.

Выделим целую часть. Первая дробь: $\frac{612}{111} = 5 \frac{57}{111}$. Эта дробь меньше 6.

Вторая дробь: $\frac{8586}{1401}$. Проверим, больше ли она 6. $1401 \cdot 6 = 8406$. Так как $8586 > 8406$, то $\frac{8586}{1401} > 6$. Точнее, $\frac{8586}{1401} = 6 \frac{180}{1401}$.

Между этими дробями находится натуральное число 6: $\frac{612}{111} < 6 < \frac{8586}{1401}$.

Следовательно, $\frac{612}{111} < \frac{8586}{1401}$.

Ответ: $\frac{612}{111} < \frac{8586}{1401}$.

е) Сравним дроби $\frac{111}{612}$ и $\frac{1401}{8586}$.

Это правильные дроби. Сравним их с дробным числом $\frac{1}{6}$.

Сравним $\frac{111}{612}$ и $\frac{1}{6}$. $111 \cdot 6 = 666$. $612 \cdot 1 = 612$. Так как $666 > 612$, то $\frac{111}{612} > \frac{1}{6}$.

Сравним $\frac{1401}{8586}$ и $\frac{1}{6}$. $1401 \cdot 6 = 8406$. $8586 \cdot 1 = 8586$. Так как $8406 < 8586$, то $\frac{1401}{8586} < \frac{1}{6}$.

Мы получили, что $\frac{1401}{8586} < \frac{1}{6} < \frac{111}{612}$.

Следовательно, $\frac{111}{612} > \frac{1401}{8586}$.

Ответ: $\frac{111}{612} > \frac{1401}{8586}$.

2)

Сравнивая примеры в каждом столбике, можно заметить, что дроби в строках "б", "г", "е" являются обратными к дробям в строках "а", "в", "д" соответственно. При этом знак неравенства меняется на противоположный.

Например, в первом столбике: $\frac{38}{23} < \frac{98}{47}$, но $\frac{23}{38} > \frac{47}{98}$.

Во втором столбике: $\frac{238}{107} > \frac{623}{345}$, но $\frac{107}{238} < \frac{345}{623}$.

Это свойство неравенств для положительных чисел: если одно число больше другого, то обратное к первому числу будет меньше обратного ко второму.

Закончи предложение:

Если $\frac{a}{b} > \frac{c}{d}$, то $\frac{b}{a} < \frac{d}{c}$ ($a, b, c, d \in N$).