Номер 262, страница 52, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

262 Сократимы ли дроби: $\frac{123}{321}$, $\frac{123456}{654321}$, $\frac{123456789}{987654321}$?

52

Чтобы определить, сократима ли дробь, необходимо найти, имеют ли её числитель и знаменатель общий делитель, больший 1. Для этого можно использовать признаки делимости чисел.

$\frac{123}{321}$

Проверим числитель и знаменатель на делимость на 3. Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

Сумма цифр числителя 123: $1 + 2 + 3 = 6$. Так как 6 делится на 3, то и 123 делится на 3.

Сумма цифр знаменателя 321: $3 + 2 + 1 = 6$. Так как 6 делится на 3, то и 321 делится на 3.

Поскольку и числитель, и знаменатель делятся на 3, дробь имеет общий делитель 3 и, следовательно, является сократимой.

$123 = 3 \times 41$

$321 = 3 \times 107$

$\frac{123}{321} = \frac{3 \times 41}{3 \times 107} = \frac{41}{107}$

Ответ: да, дробь сократима.

$\frac{123456}{654321}$

Снова воспользуемся признаком делимости на 3.

Сумма цифр числителя 123456: $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21$. Так как 21 делится на 3 ($21 = 3 \times 7$), то и 123456 делится на 3.

Сумма цифр знаменателя 654321: $6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21$. Так как 21 делится на 3, то и 654321 делится на 3.

Так как и числитель, и знаменатель делятся на 3, у них есть общий делитель, и дробь сократима.

Ответ: да, дробь сократима.

$\frac{123456789}{987654321}$

Проверим делимость на 3 или 9. Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

Сумма цифр числителя 123456789: $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45$. Так как 45 делится на 9 ($45 = 9 \times 5$), то и 123456789 делится на 9.

Сумма цифр знаменателя 987654321: $9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45$. Так как 45 делится на 9, то и 987654321 делится на 9.

Поскольку и числитель, и знаменатель делятся на 9, у них есть общий делитель 9. Следовательно, дробь является сократимой.

Ответ: да, дробь сократима.