Номер 259, страница 52, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

259 Вычисли:

a) $\frac{1}{2} + \frac{1}{4}$; $\frac{1}{4} + \frac{1}{8}$; $\frac{1}{8} + \frac{1}{16}$; ...

б) $\frac{1}{3} - \frac{1}{6}$; $\frac{1}{5} - \frac{1}{10}$; $\frac{1}{7} - \frac{1}{14}$; ...

Продолжи цепочку выражений, сохраняя правило. Можно ли, не вычисляя, сказать, какие ответы будут получаться дальше?

а) Выполним вычисления для каждого выражения:
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
$\frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$
$\frac{1}{8} + \frac{1}{16} = \frac{2}{16} + \frac{1}{16} = \frac{3}{16}$

Продолжим цепочку выражений. Правило заключается в том, что мы складываем две дроби. Знаменатель первой дроби становится знаменателем второй дроби в следующем выражении. Знаменатель второй дроби в два раза больше знаменателя первой. Знаменатели первых дробей являются степенями двойки: $2 = 2^1, 4 = 2^2, 8 = 2^3, \dots$
Следующим выражением в цепочке будет $\frac{1}{16} + \frac{1}{32}$.

Можно, не вычисляя, сказать, какие ответы будут получаться дальше. Общий вид выражения: $\frac{1}{n} + \frac{1}{2n}$. Если привести к общему знаменателю, получим: $\frac{2}{2n} + \frac{1}{2n} = \frac{3}{2n}$. Это означает, что в ответе всегда будет дробь с числителем 3 и знаменателем, равным большему из знаменателей в исходном выражении.
Например, для $\frac{1}{16} + \frac{1}{32}$ ответ будет $\frac{3}{32}$.
Ответ: $\frac{3}{4}, \frac{3}{8}, \frac{3}{16}$.

б) Выполним вычисления для каждого выражения:
$\frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{1}{6}$
$\frac{1}{5} - \frac{1}{10} = \frac{2}{10} - \frac{1}{10} = \frac{1}{10}$
$\frac{1}{7} - \frac{1}{14} = \frac{2}{14} - \frac{1}{14} = \frac{1}{14}$

Продолжим цепочку выражений. Правило заключается в том, что мы вычитаем из одной дроби другую. Знаменатель второй дроби в два раза больше знаменателя первой. Знаменатели первых дробей — это последовательные нечетные числа, начиная с 3: $3, 5, 7, \dots$
Следующим выражением в цепочке будет $\frac{1}{9} - \frac{1}{18}$.

Можно, не вычисляя, сказать, какие ответы будут получаться дальше. Общий вид выражения: $\frac{1}{n} - \frac{1}{2n}$. Если привести к общему знаменателю, получим: $\frac{2}{2n} - \frac{1}{2n} = \frac{1}{2n}$. Это означает, что результат вычитания всегда равен второй дроби (вычитаемому).
Например, для $\frac{1}{9} - \frac{1}{18}$ ответ будет $\frac{1}{18}$.
Ответ: $\frac{1}{6}, \frac{1}{10}, \frac{1}{14}$.