Номер 265, страница 53, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

265 Могут ли быть сократимыми дроби ($m, n, k \in N$):

$\frac{2n+1}{4}$,

$\frac{3n-1}{6}$,

$\frac{2n+1}{15}$,

$\frac{3n+1}{25}$,

$\frac{2n+1}{2n}$,

$\frac{2n+1}{2n-1}$,

$\frac{2n+1}{2k}$,

$\frac{5n+3}{7m-1}$?

Какие из этих дробей не могут оказаться натуральными числами?

$\frac{2n+1}{4}$
Для того чтобы дробь была сократимой, ее числитель и знаменатель должны иметь общий делитель, больший 1. Простые делители знаменателя 4 — это только 2. Числитель $2n+1$ при любом натуральном $n$ является нечетным числом, поэтому он не делится на 2. Значит, $НОД(2n+1, 4)=1$, и дробь всегда несократима.
Чтобы дробь была натуральным числом, числитель $2n+1$ должен делиться нацело на знаменатель 4. Поскольку $2n+1$ — нечетное число, оно не может делиться на 4.
Ответ: дробь не может быть сократимой; не может быть натуральным числом.

$\frac{3n-1}{6}$
Дробь будет сократимой, если числитель $3n-1$ имеет общий делитель со знаменателем 6. Простые делители 6 — это 2 и 3. Если $n$ — нечетное число, например $n=1$, то $3n-1 = 3(1)-1=2$. Дробь принимает вид $\frac{2}{6}$, которая сократима на 2. Значит, дробь может быть сократимой.
Чтобы дробь была натуральным числом, $3n-1$ должен делиться на 6, а значит и на 3. Однако, $3n$ делится на 3, а $3n-1$ при делении на 3 дает остаток -1 (или 2). Следовательно, $3n-1$ никогда не делится на 3, а значит и на 6.
Ответ: дробь может быть сократимой; не может быть натуральным числом.

$\frac{2n+1}{15}$
Дробь будет сократимой, если числитель $2n+1$ имеет общий делитель со знаменателем 15. Простые делители 15 — это 3 и 5. Если $n=1$, числитель равен $2(1)+1=3$, и дробь $\frac{3}{15}$ сократима. Следовательно, дробь может быть сократимой.
Чтобы дробь была натуральным числом, $2n+1$ должен делиться на 15. Например, если $2n+1=15$, то $2n=14$ и $n=7$. При $n=7$ дробь равна $\frac{15}{15}=1$, что является натуральным числом.
Ответ: дробь может быть сократимой; может быть натуральным числом.

$\frac{3n+1}{25}$
Дробь будет сократимой, если числитель $3n+1$ имеет общий делитель со знаменателем 25. Единственный простой делитель 25 — это 5. Нужно, чтобы $3n+1$ делилось на 5. Это возможно, например, при $n=3$, когда $3n+1=10$. Дробь $\frac{10}{25}$ сократима. Значит, дробь может быть сократимой.
Чтобы дробь была натуральным числом, $3n+1$ должен делиться на 25. Например, если $3n+1=25$, то $3n=24$ и $n=8$. При $n=8$ дробь равна $\frac{25}{25}=1$, что является натуральным числом.
Ответ: дробь может быть сократимой; может быть натуральным числом.

$\frac{2n+1}{2n}$
Для определения сократимости найдем наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя: $НОД(2n+1, 2n) = НОД(2n+1-2n, 2n) = НОД(1, 2n) = 1$. Так как НОД равен 1, дробь всегда несократима.
Для натурального $n \ge 1$ имеем $2n < 2n+1 < 2 \cdot (2n)$, поэтому $1 < \frac{2n+1}{2n} < 2$. Значение дроби всегда находится между 1 и 2, поэтому она не может быть натуральным числом.
Ответ: дробь не может быть сократимой; не может быть натуральным числом.

$\frac{2n+1}{2n-1}$
Найдем $НОД(2n+1, 2n-1) = НОД(2n+1 - (2n-1), 2n-1) = НОД(2, 2n-1)$. Так как $2n-1$ — нечетное число, $НОД(2, 2n-1)=1$. Дробь всегда несократима.
Представим дробь в виде $\frac{2n+1}{2n-1} = \frac{2n-1+2}{2n-1} = 1 + \frac{2}{2n-1}$. Чтобы это выражение было натуральным числом, $\frac{2}{2n-1}$ должно быть целым положительным числом. Это возможно, если знаменатель $2n-1$ является делителем числа 2, то есть $2n-1=1$. Отсюда $2n=2$, $n=1$. При $n=1$ дробь равна $\frac{3}{1}=3$, что является натуральным числом.
Ответ: дробь не может быть сократимой; может быть натуральным числом.

$\frac{2n+1}{2k}$
Дробь будет сократимой, если $НОД(2n+1, 2k) > 1$. Так как $2n+1$ — нечетное число, общий делитель должен быть нечетным, а значит, он должен быть делителем $k$. То есть, $НОД(2n+1, 2k) = НОД(2n+1, k)$. Если выбрать $n=1$ и $k=3$, то числитель равен 3, а дробь $\frac{3}{6}$ сократима. Значит, дробь может быть сократимой.
Чтобы дробь была натуральным числом, числитель $2n+1$ должен делиться на знаменатель $2k$. Но $2n+1$ — нечетное число, а $2k$ — четное. Нечетное число не может нацело делиться на четное (если делитель не 1 или -1). Следовательно, эта дробь не может быть натуральным числом.
Ответ: дробь может быть сократимой; не может быть натуральным числом.

$\frac{5n+3}{7m-1}$
Дробь будет сократимой, если $НОД(5n+3, 7m-1) > 1$. Например, при $n=1$ и $m=1$ получаем дробь $\frac{5(1)+3}{7(1)-1} = \frac{8}{6}$, которая сократима. Значит, дробь может быть сократимой.
Чтобы дробь была натуральным числом, нужно, чтобы $5n+3$ делилось на $7m-1$. При $n=2, m=2$ дробь равна $\frac{5(2)+3}{7(2)-1} = \frac{13}{13} = 1$, что является натуральным числом.
Ответ: дробь может быть сократимой; может быть натуральным числом.

Дроби, которые не могут оказаться натуральными числами:
$\frac{2n+1}{4}$, так как нечетный числитель не может делиться на 4.
$\frac{3n-1}{6}$, так как числитель $3n-1$ не делится на 3, а значит и на 6.
$\frac{2n+1}{2n}$, так как при $n \in N$ значение дроби $1 < \frac{2n+1}{2n} \le 1.5$.
$\frac{2n+1}{2k}$, так как нечетный числитель не может нацело делиться на четный знаменатель.