Номер 270, страница 54, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

270 1) Пользуясь рисунком, объясни, почему верно равенство:

$ (a+b) \cdot (c + d) = ac + ad + bc + bd. $

Выведи из этого равенства правило умножения суммы на сумму.

2) Выполни умножение и упрости полученные выражения:

$ (x + 3)(x + 2), \quad (5+t)(5 + t), \quad (a+b)^2, $

$ (4 + y)(1 + y), \quad (k+3)(k+ 3), \quad (c + d)^2. $

Проанализируй ответы последнего столбика и придумай правило вычисления квадрата суммы двух чисел.

1) На рисунке изображен большой прямоугольник. Его ширина равна сумме отрезков $a$ и $b$, то есть $a + b$. Его высота равна сумме отрезков $c$ и $d$, то есть $c + d$. Площадь этого прямоугольника равна произведению его сторон: $S = (a + b) \cdot (c + d)$.

С другой стороны, этот большой прямоугольник состоит из четырех меньших прямоугольников. Их площади равны:

- левый верхний: $a \cdot c = ac$

- правый верхний: $b \cdot c = bc$

- левый нижний: $a \cdot d = ad$

- правый нижний: $b \cdot d = bd$

Общая площадь большого прямоугольника также может быть найдена как сумма площадей этих четырех прямоугольников: $S = ac + ad + bc + bd$.

Поскольку оба выражения представляют площадь одного и того же прямоугольника, они равны. Следовательно, равенство $(a + b) \cdot (c + d) = ac + ad + bc + bd$ является верным.

Из этого равенства можно вывести правило умножения суммы на сумму: чтобы умножить одну сумму на другую, нужно каждый член первой суммы умножить на каждый член второй суммы и полученные произведения сложить.

Ответ: Равенство верно, так как площадь прямоугольника со сторонами $(a+b)$ и $(c+d)$ может быть вычислена двумя способами: как произведение его сторон $(a+b) \cdot (c+d)$ и как сумма площадей четырех малых прямоугольников $ac + ad + bc + bd$, из которых он состоит. Правило: чтобы умножить сумму на сумму, нужно каждый член первой суммы умножить на каждый член второй суммы и сложить полученные произведения.

2) Выполним умножение и упростим полученные выражения, используя правило из пункта 1:

$(x + 3) \cdot (x + 2) = x \cdot x + x \cdot 2 + 3 \cdot x + 3 \cdot 2 = x^2 + 2x + 3x + 6 = x^2 + 5x + 6$

$(4 + y) \cdot (1 + y) = 4 \cdot 1 + 4 \cdot y + y \cdot 1 + y \cdot y = 4 + 4y + y + y^2 = y^2 + 5y + 4$

$(5 + t) \cdot (5 + t) = 5 \cdot 5 + 5 \cdot t + t \cdot 5 + t \cdot t = 25 + 5t + 5t + t^2 = t^2 + 10t + 25$

$(k + 3) \cdot (k + 3) = k \cdot k + k \cdot 3 + 3 \cdot k + 3 \cdot 3 = k^2 + 3k + 3k + 9 = k^2 + 6k + 9$

$(a + b)^2 = (a + b) \cdot (a + b) = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$(c + d)^2 = (c + d) \cdot (c + d) = c \cdot c + c \cdot d + d \cdot c + d \cdot d = c^2 + cd + cd + d^2 = c^2 + 2cd + d^2$

Проанализируем ответы последнего столбика: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и $(c + d)^2 = c^2 + 2cd + d^2$.

Из этих примеров можно сформулировать правило вычисления квадрата суммы двух чисел: квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа, плюс удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.

Ответ:
$(x + 3) \cdot (x + 2) = x^2 + 5x + 6$
$(4 + y) \cdot (1 + y) = y^2 + 5y + 4$
$(5 + t) \cdot (5 + t) = t^2 + 10t + 25$
$(k + 3) \cdot (k + 3) = k^2 + 6k + 9$
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$(c + d)^2 = c^2 + 2cd + d^2$
Правило вычисления квадрата суммы двух чисел: квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа, плюс удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа. В виде формулы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.