Номер 273, страница 55, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

273 Построй отрезки $MN$ и $PQ$ и найди координаты их точки пересечения:

1) $M (5; 0)$, $N (0; 15)$, $P (0; 6)$, $Q (8; 0)$;

2) $M (4; 0)$, $N (0; 8)$, $P (0; 5)$, $Q (10; 0)$.

Что интересного в расположении концов отрезков? Чем характеризуются координаты точек, расположенных на оси абсцисс, на оси ординат?

Для нахождения координат точки пересечения отрезков $MN$ и $PQ$ необходимо найти уравнения прямых, на которых лежат эти отрезки, а затем найти точку пересечения этих прямых, решив систему уравнений.

Поскольку в обоих случаях концы отрезков лежат на осях координат, удобно использовать уравнение прямой в отрезках. Если прямая пересекает ось абсцисс в точке $(a, 0)$ и ось ординат в точке $(0, b)$, ее уравнение имеет вид: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$.

1) Даны точки $M(5; 0)$, $N(0; 15)$, $P(0; 6)$, $Q(8; 0)$.

Составим уравнение прямой $MN$. Прямая проходит через точки $M(5; 0)$ и $N(0; 15)$. Здесь $a=5$, $b=15$.

Уравнение прямой $MN$: $\frac{x}{5} + \frac{y}{15} = 1$.

Составим уравнение прямой $PQ$. Прямая проходит через точки $P(0; 6)$ и $Q(8; 0)$. Здесь $a=8$, $b=6$.

Уравнение прямой $PQ$: $\frac{x}{8} + \frac{y}{6} = 1$.

Для нахождения точки пересечения решим систему из этих двух уравнений. Сначала упростим их, избавившись от знаменателей. Умножим первое уравнение на 15, а второе на 24 (наименьшее общее кратное для 8 и 6).

$15 \cdot (\frac{x}{5} + \frac{y}{15}) = 15 \cdot 1 \implies 3x + y = 15$

$24 \cdot (\frac{x}{8} + \frac{y}{6}) = 24 \cdot 1 \implies 3x + 4y = 24$

Получили систему:

$3x + y = 15$

$3x + 4y = 24$

Из первого уравнения выразим $y$: $y = 15 - 3x$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$3x + 4(15 - 3x) = 24$

$3x + 60 - 12x = 24$

$-9x = 24 - 60$

$-9x = -36$

$x = 4$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в выражение для $y$:

$y = 15 - 3(4) = 15 - 12 = 3$.

Таким образом, координаты точки пересечения (4; 3).

Ответ: (4; 3).

2) Даны точки $M(4; 0)$, $N(0; 8)$, $P(0; 5)$, $Q(10; 0)$.

Составим уравнение прямой $MN$. Прямая проходит через точки $M(4; 0)$ и $N(0; 8)$. Здесь $a=4$, $b=8$.

Уравнение прямой $MN$: $\frac{x}{4} + \frac{y}{8} = 1$.

Составим уравнение прямой $PQ$. Прямая проходит через точки $P(0; 5)$ и $Q(10; 0)$. Здесь $a=10$, $b=5$.

Уравнение прямой $PQ$: $\frac{x}{10} + \frac{y}{5} = 1$.

Решим систему уравнений. Умножим первое уравнение на 8, а второе на 10.

$8 \cdot (\frac{x}{4} + \frac{y}{8}) = 8 \cdot 1 \implies 2x + y = 8$

$10 \cdot (\frac{x}{10} + \frac{y}{5}) = 10 \cdot 1 \implies x + 2y = 10$

Получили систему:

$2x + y = 8$

$x + 2y = 10$

Из первого уравнения выразим $y$: $y = 8 - 2x$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$x + 2(8 - 2x) = 10$

$x + 16 - 4x = 10$

$-3x = 10 - 16$

$-3x = -6$

$x = 2$

Найдем $y$:

$y = 8 - 2(2) = 8 - 4 = 4$.

Таким образом, координаты точки пересечения (2; 4).

Ответ: (2; 4).

Что интересного в расположении концов отрезков? Чем характеризуются координаты точек, расположенных на оси абсцисс, на оси ординат?

Интересная особенность расположения концов отрезков в обоих случаях заключается в том, что для каждого отрезка ($MN$ и $PQ$) один его конец лежит на оси абсцисс ($Ox$), а другой — на оси ординат ($Oy$).

Координаты точек, расположенных на осях, характеризуются следующим образом:

1. Точки, расположенные на оси абсцисс (ось $Ox$), всегда имеют ординату (координату $y$), равную нулю. Их координаты имеют вид $(x; 0)$.

2. Точки, расположенные на оси ординат (ось $Oy$), всегда имеют абсциссу (координату $x$), равную нулю. Их координаты имеют вид $(0; y)$.

Ответ: Концы каждого отрезка лежат на разных осях координат. Точки на оси абсцисс имеют ординату, равную нулю (координаты вида $(x; 0)$), а точки на оси ординат имеют абсциссу, равную нулю (координаты вида $(0; y)$).