Номер 280, страница 55, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

280 Сократи дроби:

1) $\frac{3^2}{3^5}$;

2) $\frac{7^4}{7}$;

3) $\frac{a^3}{a^6} (a \in N)$;

4) $\frac{b^8}{b^4} (b \in N)$.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{3^2}{3^5}$, мы используем свойство деления степеней с одинаковым основанием: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

В нашем случае основание $a=3$, показатель степени числителя $m=2$, а показатель степени знаменателя $n=5$.

$\frac{3^2}{3^5} = 3^{2-5} = 3^{-3}$

Согласно определению степени с отрицательным показателем, $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Поэтому:

$3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{1}{27}$

Также можно расписать степени и сократить общие множители:

$\frac{3^2}{3^5} = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{1}{3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{1}{27}$

Ответ: $\frac{1}{27}$

2) Сократим дробь $\frac{7^4}{7}$. Знаменатель $7$ можно записать как $7^1$.

Применим свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, где $a=7$, $m=4$ и $n=1$.

$\frac{7^4}{7^1} = 7^{4-1} = 7^3$

Вычислим значение полученного выражения:

$7^3 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 49 \cdot 7 = 343$

Ответ: $343$

3) Сократим дробь $\frac{a^3}{a^6}$, где $a \in N$ (то есть $a$ — натуральное число, и $a \neq 0$).

Используем то же свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$.

$\frac{a^3}{a^6} = a^{3-6} = a^{-3}$

Преобразуем выражение со степенью с отрицательным показателем:

$a^{-3} = \frac{1}{a^3}$

Ответ: $\frac{1}{a^3}$

4) Сократим дробь $\frac{b^8}{b^4}$, где $b \in N$ (то есть $b$ — натуральное число, и $b \neq 0$).

Применяем свойство деления степеней $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$.

$\frac{b^8}{b^4} = b^{8-4} = b^4$

Ответ: $b^4$