Номер 281, страница 56, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

281 Как изменяется сумма $a + b$ и разность $a - b$ при указанных изменениях $a$ и $b$?

1) a b a+b a-b

$+2 \frac{3}{7}$ $+1 \frac{2}{7}$

$+2 \frac{3}{7}$ $-1 \frac{2}{7}$

$-2 \frac{3}{7}$ $+1 \frac{2}{7}$

$-2 \frac{3}{7}$ $-1 \frac{2}{7}$

2) a b a+b a-b

$+1 \frac{1}{2}$ $+5 \frac{1}{3}$

$+1 \frac{1}{2}$ $-5 \frac{1}{3}$

$-1 \frac{1}{2}$ $+5 \frac{1}{3}$

$-1 \frac{1}{2}$ $-5 \frac{1}{3}$

Чтобы определить, как изменяются сумма $a+b$ и разность $a-b$, нужно найти, на какую величину изменяется каждое из этих выражений. Пусть $a$ изменяется на величину $\Delta a$, а $b$ — на величину $\Delta b$.

Новые значения переменных будут $a' = a + \Delta a$ и $b' = b + \Delta b$.

Новая сумма будет $a' + b' = (a + \Delta a) + (b + \Delta b) = (a+b) + (\Delta a + \Delta b)$. Следовательно, изменение суммы равно $\Delta a + \Delta b$.

Новая разность будет $a' - b' = (a + \Delta a) - (b + \Delta b) = (a-b) + (\Delta a - \Delta b)$. Следовательно, изменение разности равно $\Delta a - \Delta b$.

Теперь вычислим эти изменения для каждого случая.

1)

Первая строка: $a$ увеличивается на $2\frac{3}{7}$ ($\Delta a = +2\frac{3}{7}$), $b$ увеличивается на $1\frac{2}{7}$ ($\Delta b = +1\frac{2}{7}$).

Изменение суммы: $\Delta a + \Delta b = 2\frac{3}{7} + 1\frac{2}{7} = (2+1) + (\frac{3}{7} + \frac{2}{7}) = 3 + \frac{5}{7} = 3\frac{5}{7}$.

Изменение разности: $\Delta a - \Delta b = 2\frac{3}{7} - 1\frac{2}{7} = (2-1) + (\frac{3}{7} - \frac{2}{7}) = 1 + \frac{1}{7} = 1\frac{1}{7}$.

Ответ: сумма $a+b$ увеличится на $3\frac{5}{7}$, а разность $a-b$ увеличится на $1\frac{1}{7}$.

Вторая строка: $a$ увеличивается на $2\frac{3}{7}$ ($\Delta a = +2\frac{3}{7}$), $b$ уменьшается на $1\frac{2}{7}$ ($\Delta b = -1\frac{2}{7}$).

Изменение суммы: $\Delta a + \Delta b = 2\frac{3}{7} + (-1\frac{2}{7}) = 2\frac{3}{7} - 1\frac{2}{7} = 1\frac{1}{7}$.

Изменение разности: $\Delta a - \Delta b = 2\frac{3}{7} - (-1\frac{2}{7}) = 2\frac{3}{7} + 1\frac{2}{7} = 3\frac{5}{7}$.

Ответ: сумма $a+b$ увеличится на $1\frac{1}{7}$, а разность $a-b$ увеличится на $3\frac{5}{7}$.

Третья строка: $a$ уменьшается на $2\frac{3}{7}$ ($\Delta a = -2\frac{3}{7}$), $b$ увеличивается на $1\frac{2}{7}$ ($\Delta b = +1\frac{2}{7}$).

Изменение суммы: $\Delta a + \Delta b = -2\frac{3}{7} + 1\frac{2}{7} = -(2\frac{3}{7} - 1\frac{2}{7}) = -1\frac{1}{7}$.

Изменение разности: $\Delta a - \Delta b = -2\frac{3}{7} - 1\frac{2}{7} = -(2\frac{3}{7} + 1\frac{2}{7}) = -3\frac{5}{7}$.

Ответ: сумма $a+b$ уменьшится на $1\frac{1}{7}$, а разность $a-b$ уменьшится на $3\frac{5}{7}$.

Четвертая строка: $a$ уменьшается на $2\frac{3}{7}$ ($\Delta a = -2\frac{3}{7}$), $b$ уменьшается на $1\frac{2}{7}$ ($\Delta b = -1\frac{2}{7}$).

Изменение суммы: $\Delta a + \Delta b = -2\frac{3}{7} - 1\frac{2}{7} = -(2\frac{3}{7} + 1\frac{2}{7}) = -3\frac{5}{7}$.

Изменение разности: $\Delta a - \Delta b = -2\frac{3}{7} - (-1\frac{2}{7}) = -2\frac{3}{7} + 1\frac{2}{7} = -(2\frac{3}{7} - 1\frac{2}{7}) = -1\frac{1}{7}$.

Ответ: сумма $a+b$ уменьшится на $3\frac{5}{7}$, а разность $a-b$ уменьшится на $1\frac{1}{7}$.

2)

Первая строка: $a$ увеличивается на $1\frac{1}{2}$ ($\Delta a = +1\frac{1}{2}$), $b$ увеличивается на $5\frac{1}{3}$ ($\Delta b = +5\frac{1}{3}$).

Изменение суммы: $\Delta a + \Delta b = 1\frac{1}{2} + 5\frac{1}{3} = 1\frac{3}{6} + 5\frac{2}{6} = (1+5) + (\frac{3}{6} + \frac{2}{6}) = 6\frac{5}{6}$.

Изменение разности: $\Delta a - \Delta b = 1\frac{1}{2} - 5\frac{1}{3} = \frac{3}{2} - \frac{16}{3} = \frac{9}{6} - \frac{32}{6} = -\frac{23}{6} = -3\frac{5}{6}$.

Ответ: сумма $a+b$ увеличится на $6\frac{5}{6}$, а разность $a-b$ уменьшится на $3\frac{5}{6}$.

Вторая строка: $a$ увеличивается на $1\frac{1}{2}$ ($\Delta a = +1\frac{1}{2}$), $b$ уменьшается на $5\frac{1}{3}$ ($\Delta b = -5\frac{1}{3}$).

Изменение суммы: $\Delta a + \Delta b = 1\frac{1}{2} - 5\frac{1}{3} = -3\frac{5}{6}$.

Изменение разности: $\Delta a - \Delta b = 1\frac{1}{2} - (-5\frac{1}{3}) = 1\frac{1}{2} + 5\frac{1}{3} = 6\frac{5}{6}$.

Ответ: сумма $a+b$ уменьшится на $3\frac{5}{6}$, а разность $a-b$ увеличится на $6\frac{5}{6}$.

Третья строка: $a$ уменьшается на $1\frac{1}{2}$ ($\Delta a = -1\frac{1}{2}$), $b$ увеличивается на $5\frac{1}{3}$ ($\Delta b = +5\frac{1}{3}$).

Изменение суммы: $\Delta a + \Delta b = -1\frac{1}{2} + 5\frac{1}{3} = 5\frac{1}{3} - 1\frac{1}{2} = \frac{16}{3} - \frac{3}{2} = \frac{32}{6} - \frac{9}{6} = \frac{23}{6} = 3\frac{5}{6}$.

Изменение разности: $\Delta a - \Delta b = -1\frac{1}{2} - 5\frac{1}{3} = -(1\frac{1}{2} + 5\frac{1}{3}) = -6\frac{5}{6}$.

Ответ: сумма $a+b$ увеличится на $3\frac{5}{6}$, а разность $a-b$ уменьшится на $6\frac{5}{6}$.

Четвертая строка: $a$ уменьшается на $1\frac{1}{2}$ ($\Delta a = -1\frac{1}{2}$), $b$ уменьшается на $5\frac{1}{3}$ ($\Delta b = -5\frac{1}{3}$).

Изменение суммы: $\Delta a + \Delta b = -1\frac{1}{2} - 5\frac{1}{3} = -(1\frac{1}{2} + 5\frac{1}{3}) = -6\frac{5}{6}$.

Изменение разности: $\Delta a - \Delta b = -1\frac{1}{2} - (-5\frac{1}{3}) = 5\frac{1}{3} - 1\frac{1}{2} = 3\frac{5}{6}$.

Ответ: сумма $a+b$ уменьшится на $6\frac{5}{6}$, а разность $a-b$ увеличится на $3\frac{5}{6}$.