Номер 286, страница 56, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

C 286 Существует ли двузначное число, в 2 раза большее произведения своих цифр?

Обозначим искомое двузначное число как $\overline{ab}$, где $a$ – цифра десятков, а $b$ – цифра единиц. Значение этого числа можно записать в виде $10a + b$.

По определению двузначного числа, $a$ и $b$ являются целыми числами, причём $a \in \{1, 2, ..., 9\}$ и $b \in \{0, 1, ..., 9\}$.

Произведение цифр этого числа равно $a \cdot b$.

Согласно условию задачи, число в 2 раза больше произведения своих цифр. Это можно записать в виде уравнения:

$10a + b = 2 \cdot (a \cdot b)$

$10a + b = 2ab$

Для решения этой задачи необходимо найти, существуют ли целые решения $(a, b)$ для этого уравнения в указанных для цифр диапазонах. Выразим одну переменную через другую. Например, выразим $a$ через $b$:

$10a - 2ab = -b$

$a(10 - 2b) = -b$

$a = \frac{-b}{10 - 2b}$

Чтобы избавиться от знака минуса в числителе, умножим числитель и знаменатель на -1:

$a = \frac{b}{2b - 10}$

Поскольку $a$ – это цифра десятков, $a$ должно быть положительным целым числом ($a \ge 1$). Так как $b$ – цифра (неотрицательное число), числитель $b$ неотрицателен. Чтобы дробь $a$ была положительной, знаменатель $(2b - 10)$ также должен быть положительным (случай $b=0$ приводит к $a=0$, что не соответствует двузначному числу).

$2b - 10 > 0$

$2b > 10$

$b > 5$

Это означает, что цифра единиц $b$ может принимать только значения из множества $\{6, 7, 8, 9\}$. Проверим каждое из этих возможных значений:

• При $b = 6$:

$a = \frac{6}{2 \cdot 6 - 10} = \frac{6}{12 - 10} = \frac{6}{2} = 3$.

Мы получили $a=3$. Это допустимое значение для цифры десятков ($1 \le 3 \le 9$). Таким образом, число 36 является решением. Проверим его: число 36, произведение его цифр $3 \cdot 6 = 18$. Условие $36 = 2 \cdot 18$ выполняется.

• При $b = 7$:

$a = \frac{7}{2 \cdot 7 - 10} = \frac{7}{14 - 10} = \frac{7}{4}$.

Значение $a$ не является целым числом, поэтому это не решение.

• При $b = 8$:

$a = \frac{8}{2 \cdot 8 - 10} = \frac{8}{16 - 10} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.

Значение $a$ не является целым числом, поэтому это не решение.

• При $b = 9$:

$a = \frac{9}{2 \cdot 9 - 10} = \frac{9}{18 - 10} = \frac{9}{8}$.

Значение $a$ не является целым числом, поэтому это не решение.

Единственное решение, которое удовлетворяет всем условиям, это число 36. Поскольку мы нашли такое число, ответ на вопрос задачи утвердительный.

Ответ: Да, существует. Например, число 36.