Номер 285, страница 56, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

285 1) Построй четырёхугольник $ABCD$, если $A (0; 3)$, $B (5; 6)$, $C (10; 3)$, $D (5; 0)$, и найди координаты точки пересечения его диагоналей.

2) Сколько осей симметрии имеет четырёхугольник $ABCD$?

3) Измерь углы четырёхугольника $ABCD$. Что ты замечаешь?

4) Найди как можно больше свойств этого четырёхугольника.

1) Построй четырёхугольник ABCD, если А (0; 3), В (5; 6), C (10; 3), D (5; 0), и найди координаты точки пересечения его диагоналей.

Для построения четырёхугольника ABCD отметим на координатной плоскости точки с заданными координатами и соединим их последовательно отрезками. Диагоналями этого четырёхугольника являются отрезки AC и BD.

Чтобы найти координаты точки пересечения диагоналей, найдём координаты середины каждого из отрезков AC и BD. Координаты середины отрезка вычисляются по формулам: $x = \frac{x_1 + x_2}{2}$, $y = \frac{y_1 + y_2}{2}$.

Для диагонали AC с концами в точках A (0; 3) и C (10; 3):
Координата $x$ середины: $x = \frac{0 + 10}{2} = 5$
Координата $y$ середины: $y = \frac{3 + 3}{2} = 3$

Для диагонали BD с концами в точках B (5; 6) и D (5; 0):
Координата $x$ середины: $x = \frac{5 + 5}{2} = 5$
Координата $y$ середины: $y = \frac{6 + 0}{2} = 3$

Поскольку координаты середин обеих диагоналей совпадают, диагонали пересекаются в этой точке и делятся ею пополам. Таким образом, точка пересечения диагоналей имеет координаты (5; 3).

Ответ: Координаты точки пересечения диагоналей (5; 3).

2) Сколько осей симметрии имеет четырёхугольник ABCD?

Ось симметрии — это прямая, при отражении относительно которой фигура переходит сама в себя. Проверим, являются ли прямые, содержащие диагонали, осями симметрии.

Диагональ AC лежит на прямой $y = 3$. Найдём точку, симметричную вершине D(5; 0) относительно этой прямой. Она будет иметь ту же абсциссу $x=5$ и ординату $y = 3 + (3 - 0) = 6$. Получаем точку (5; 6), что соответствует координатам вершины B. Таким образом, точки B и D симметричны относительно прямой $y = 3$. Прямая, содержащая диагональ AC, является осью симметрии.

Диагональ BD лежит на прямой $x = 5$. Найдём точку, симметричную вершине A(0; 3) относительно этой прямой. Она будет иметь ту же ординату $y=3$ и абсциссу $x = 5 + (5 - 0) = 10$. Получаем точку (10; 3), что соответствует координатам вершины C. Таким образом, точки A и C симметричны относительно прямой $x = 5$. Прямая, содержащая диагональ BD, также является осью симметрии.

Других осей симметрии у данного четырёхугольника нет.

Ответ: Четырёхугольник ABCD имеет две оси симметрии.

3) Измерь углы четырёхугольника ABCD. Что ты замечаешь?

Для вычисления углов сначала определим тип четырёхугольника, найдя длины его сторон по формуле расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.

Длина стороны AB: $|AB| = \sqrt{(5-0)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25+9} = \sqrt{34}$.
Длина стороны BC: $|BC| = \sqrt{(10-5)^2 + (3-6)^2} = \sqrt{5^2 + (-3)^2} = \sqrt{25+9} = \sqrt{34}$.
Длина стороны CD: $|CD| = \sqrt{(5-10)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{(-5)^2 + (-3)^2} = \sqrt{25+9} = \sqrt{34}$.
Длина стороны DA: $|DA| = \sqrt{(0-5)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{(-5)^2 + 3^2} = \sqrt{25+9} = \sqrt{34}$.

Так как все стороны равны, ABCD — ромб. В ромбе противоположные углы равны, а сумма соседних углов равна $180^\circ$.

Найдём косинус угла A ($\angle DAB$) с помощью скалярного произведения векторов $\vec{AD}$ и $\vec{AB}$.
$\vec{AD} = (5-0; 0-3) = (5; -3)$
$\vec{AB} = (5-0; 6-3) = (5; 3)$
$\cos(\angle A) = \frac{\vec{AD} \cdot \vec{AB}}{|\vec{AD}| \cdot |\vec{AB}|} = \frac{5 \cdot 5 + (-3) \cdot 3}{\sqrt{34} \cdot \sqrt{34}} = \frac{25-9}{34} = \frac{16}{34} = \frac{8}{17}$.
$\angle A = \arccos(\frac{8}{17}) \approx 61.9^\circ$.

Тогда $\angle C = \angle A \approx 61.9^\circ$.
Угол B: $\angle B = 180^\circ - \angle A \approx 180^\circ - 61.9^\circ = 118.1^\circ$.
Тогда $\angle D = \angle B \approx 118.1^\circ$.

Можно заметить, что противоположные углы четырёхугольника равны ($\angle A = \angle C$ и $\angle B = \angle D$), что является свойством ромба (и любого параллелограмма).

Ответ: Углы четырёхугольника примерно равны $\angle A = \angle C \approx 61.9^\circ$ и $\angle B = \angle D \approx 118.1^\circ$. Замечание: противоположные углы равны.

4) Найди как можно больше свойств этого четырёхугольника.

На основе проведённого анализа можно выделить следующие свойства четырёхугольника ABCD:
1. Все четыре стороны равны: $|AB| = |BC| = |CD| = |DA| = \sqrt{34}$. Следовательно, четырёхугольник является ромбом.
2. Противоположные стороны попарно параллельны ($AB || DC$ и $AD || BC$), так как их угловые коэффициенты равны ($k_{AB} = k_{DC} = 3/5$, $k_{AD} = k_{BC} = -3/5$). Следовательно, это параллелограмм.
3. Диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны, так как одна из них является горизонтальным отрезком (прямая $y=3$), а другая — вертикальным (прямая $x=5$).
4. Диагонали пересекаются в своих серединах в точке (5; 3).
5. Длины диагоналей: $|AC| = 10$, $|BD| = 6$.
6. Прямые, содержащие диагонали ($x=5$ и $y=3$), являются осями симметрии фигуры.
7. Диагонали являются биссектрисами углов четырёхугольника.
8. Противоположные углы равны ($\angle A = \angle C \approx 61.9^\circ$, $\angle B = \angle D \approx 118.1^\circ$).
9. Сумма соседних углов равна $180^\circ$ (например, $\angle A + \angle B = 180^\circ$).
10. Периметр равен $P = 4 \cdot \sqrt{34}$.
11. Площадь равна $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 6 = 30$ квадратных единиц.

Ответ: Четырёхугольник ABCD является ромбом со стороной $\sqrt{34}$ и обладает всеми свойствами ромба и параллелограмма (параллельность сторон, равенство противоположных углов, перпендикулярность и пересечение диагоналей в их серединах, диагонали являются осями симметрии и биссектрисами). Его площадь равна 30, а периметр $4\sqrt{34}$.