Номер 289, страница 59, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

К 289 Найди значение выражения:

а) $\frac{3}{11} \cdot \frac{22}{45};$

б) $\frac{12}{7} \cdot \frac{14}{27};$

в) $\frac{18}{39} \cdot \frac{13}{36};$

г) $\frac{24}{17} \cdot \frac{51}{40};$

д) $\frac{16}{81} \cdot \frac{45}{57} \cdot \frac{19}{4};$

е) $\frac{72}{49} \cdot \frac{5}{88} \cdot \frac{77}{25};$

ж) $\frac{18}{95} \cdot \frac{35}{3} \cdot \frac{19}{42};$

з) $\frac{20}{23} \cdot \frac{73}{48} \cdot \frac{46}{73};$

и) $\left(\frac{1}{6}\right)^2;$

к) $\left(\frac{2}{3}\right)^2;$

л) $\left(\frac{7}{8}\right)^2;$

м) $\left(\frac{5}{4}\right)^3.$

а) Чтобы найти произведение дробей, нужно перемножить их числители и знаменатели. После этого, для упрощения, сократим общие множители в числителе и знаменателе:

$ \frac{3}{11} \cdot \frac{22}{45} = \frac{3 \cdot 22}{11 \cdot 45} $.

Сократим 3 и 45 на 3 ( $45 \div 3 = 15$ ) и 22 и 11 на 11 ( $22 \div 11 = 2$ ).

$ \frac{\cancel{3}^1 \cdot \cancel{22}^2}{\cancel{11}^1 \cdot \cancel{45}^{15}} = \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 15} = \frac{2}{15} $.

Ответ: $ \frac{2}{15} $

б) Перемножаем числители и знаменатели соответствующих дробей:

$ \frac{12}{7} \cdot \frac{14}{27} = \frac{12 \cdot 14}{7 \cdot 27} $.

Сократим 14 и 7 на 7 ( $14 \div 7 = 2$ ), а 12 и 27 на 3 ( $12 \div 3 = 4$, $27 \div 3 = 9$ ).

$ \frac{\cancel{12}^4 \cdot \cancel{14}^2}{\cancel{7}^1 \cdot \cancel{27}^9} = \frac{4 \cdot 2}{1 \cdot 9} = \frac{8}{9} $.

Ответ: $ \frac{8}{9} $

в) Выполним умножение дробей:

$ \frac{18}{39} \cdot \frac{13}{36} = \frac{18 \cdot 13}{39 \cdot 36} $.

Сократим 18 и 36 на 18 ( $36 \div 18 = 2$ ) и 13 и 39 на 13 ( $39 \div 13 = 3$ ).

$ \frac{\cancel{18}^1 \cdot \cancel{13}^1}{\cancel{39}^3 \cdot \cancel{36}^2} = \frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 2} = \frac{1}{6} $.

Ответ: $ \frac{1}{6} $

г) Найдем произведение дробей:

$ \frac{24}{17} \cdot \frac{51}{40} = \frac{24 \cdot 51}{17 \cdot 40} $.

Сократим 51 и 17 на 17 ( $51 \div 17 = 3$ ) и 24 и 40 на 8 ( $24 \div 8 = 3$, $40 \div 8 = 5$ ).

$ \frac{\cancel{24}^3 \cdot \cancel{51}^3}{\cancel{17}^1 \cdot \cancel{40}^5} = \frac{3 \cdot 3}{1 \cdot 5} = \frac{9}{5} $.

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $ \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5} $.

Ответ: $ 1\frac{4}{5} $

д) Чтобы перемножить три дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели:

$ \frac{16}{81} \cdot \frac{45}{57} \cdot \frac{19}{4} = \frac{16 \cdot 45 \cdot 19}{81 \cdot 57 \cdot 4} $.

Для удобства сокращения разложим числа на множители: $16=4\cdot4$, $45=5\cdot9$, $81=9\cdot9$, $57=3\cdot19$.

$ \frac{(4 \cdot 4) \cdot (5 \cdot 9) \cdot 19}{(9 \cdot 9) \cdot (3 \cdot 19) \cdot 4} $.

Сокращаем общие множители 4, 9 и 19:

$ \frac{\cancel{4} \cdot 4 \cdot 5 \cdot \cancel{9} \cdot \cancel{19}}{\cancel{9} \cdot 9 \cdot 3 \cdot \cancel{19} \cdot \cancel{4}} = \frac{4 \cdot 5}{9 \cdot 3} = \frac{20}{27} $.

Ответ: $ \frac{20}{27} $

е) Найдем произведение трех дробей:

$ \frac{72}{49} \cdot \frac{5}{88} \cdot \frac{77}{25} = \frac{72 \cdot 5 \cdot 77}{49 \cdot 88 \cdot 25} $.

Разложим на множители: $72=8\cdot9$, $77=7\cdot11$, $49=7\cdot7$, $88=8\cdot11$, $25=5\cdot5$.

$ \frac{(8 \cdot 9) \cdot 5 \cdot (7 \cdot 11)}{(7 \cdot 7) \cdot (8 \cdot 11) \cdot (5 \cdot 5)} $.

Сократим одинаковые множители:

$ \frac{\cancel{8} \cdot 9 \cdot \cancel{5} \cdot \cancel{7} \cdot \cancel{11}}{\cancel{7} \cdot 7 \cdot \cancel{8} \cdot \cancel{11} \cdot \cancel{5} \cdot 5} = \frac{9}{7 \cdot 5} = \frac{9}{35} $.

Ответ: $ \frac{9}{35} $

ж) Выполним умножение:

$ \frac{18}{95} \cdot \frac{35}{3} \cdot \frac{19}{42} = \frac{18 \cdot 35 \cdot 19}{95 \cdot 3 \cdot 42} $.

Разложим на множители: $18=6\cdot3$, $35=5\cdot7$, $95=5\cdot19$, $42=6\cdot7$.

$ \frac{(6 \cdot 3) \cdot (5 \cdot 7) \cdot 19}{(5 \cdot 19) \cdot 3 \cdot (6 \cdot 7)} $.

Сократив все общие множители в числителе и знаменателе, получаем 1.

$ \frac{\cancel{6} \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{5} \cdot \cancel{7} \cdot \cancel{19}}{\cancel{5} \cdot \cancel{19} \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{6} \cdot \cancel{7}} = 1 $.

Ответ: $ 1 $

з) Выполним умножение:

$ \frac{20}{23} \cdot \frac{73}{48} \cdot \frac{46}{73} = \frac{20 \cdot 73 \cdot 46}{23 \cdot 48 \cdot 73} $.

Сокращаем 73 в числителе и знаменателе: $ \frac{20 \cdot 46}{23 \cdot 48} $.

Так как $ 46 = 2 \cdot 23 $, сокращаем на 23: $ \frac{20 \cdot 2 \cdot \cancel{23}}{\cancel{23} \cdot 48} = \frac{40}{48} $.

Сокращаем полученную дробь на 8: $ \frac{40 \div 8}{48 \div 8} = \frac{5}{6} $.

Ответ: $ \frac{5}{6} $

и) Чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести в эту степень и числитель, и знаменатель дроби:

$ (\frac{1}{6})^2 = \frac{1^2}{6^2} = \frac{1 \cdot 1}{6 \cdot 6} = \frac{1}{36} $.

Ответ: $ \frac{1}{36} $

к) Возводим в квадрат числитель и знаменатель дроби:

$ (\frac{2}{3})^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 3} = \frac{4}{9} $.

Ответ: $ \frac{4}{9} $

л) Возводим в квадрат числитель и знаменатель дроби:

$ (\frac{7}{8})^2 = \frac{7^2}{8^2} = \frac{7 \cdot 7}{8 \cdot 8} = \frac{49}{64} $.

Ответ: $ \frac{49}{64} $

м) Чтобы возвести дробь в куб (третью степень), нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель:

$ (\frac{5}{4})^3 = \frac{5^3}{4^3} = \frac{5 \cdot 5 \cdot 5}{4 \cdot 4 \cdot 4} = \frac{125}{64} $.

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $ 125 \div 64 = 1 $ (остаток $ 61 $), следовательно $ \frac{125}{64} = 1\frac{61}{64} $.

Ответ: $ 1\frac{61}{64} $