Номер 294, страница 59, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

294 Введи буквенные обозначения и докажи:

а) переместительное, сочетательное и распределительное свойства умножения дробей;

б) частные случаи умножения дробей на 0 и на 1.

а) Введем буквенные обозначения. Пусть $ \frac{a}{b} $, $ \frac{c}{d} $ и $ \frac{e}{f} $ — произвольные дроби, где $a, c, e$ — целые числа, а $b, d, f$ — натуральные числа (не равны нулю).

Переместительное свойство (коммутативность): для любых дробей $ \frac{a}{b} $ и $ \frac{c}{d} $ выполняется равенство $ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{c}{d} \cdot \frac{a}{b} $.
Доказательство: По определению умножения дробей, $ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} $. Так как для целых чисел выполняется переместительное свойство умножения ($a \cdot c = c \cdot a$ и $b \cdot d = d \cdot b$), то $ \frac{a \cdot c}{b \cdot d} = \frac{c \cdot a}{d \cdot b} $. Это выражение, в свою очередь, по определению умножения дробей равно $ \frac{c}{d} \cdot \frac{a}{b} $. Свойство доказано.

Сочетательное свойство (ассоциативность): для любых дробей $ \frac{a}{b} $, $ \frac{c}{d} $ и $ \frac{e}{f} $ выполняется равенство $ (\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}) \cdot \frac{e}{f} = \frac{a}{b} \cdot (\frac{c}{d} \cdot \frac{e}{f}) $.
Доказательство: Преобразуем левую часть равенства: $ (\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}) \cdot \frac{e}{f} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \cdot \frac{e}{f} = \frac{(a \cdot c) \cdot e}{(b \cdot d) \cdot f} $. Теперь преобразуем правую часть: $ \frac{a}{b} \cdot (\frac{c}{d} \cdot \frac{e}{f}) = \frac{a}{b} \cdot \frac{c \cdot e}{d \cdot f} = \frac{a \cdot (c \cdot e)}{b \cdot (d \cdot f)} $. Так как для целых чисел умножение ассоциативно, то есть $(a \cdot c) \cdot e = a \cdot (c \cdot e)$ и $(b \cdot d) \cdot f = b \cdot (d \cdot f)$, то левая и правая части равны. Свойство доказано.

Распределительное свойство (дистрибутивность) умножения относительно сложения: для любых дробей $ \frac{a}{b} $, $ \frac{c}{d} $ и $ \frac{e}{f} $ выполняется равенство $ (\frac{a}{b} + \frac{c}{d}) \cdot \frac{e}{f} = \frac{a}{b} \cdot \frac{e}{f} + \frac{c}{d} \cdot \frac{e}{f} $.
Доказательство: Преобразуем левую часть. Сначала выполним сложение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $bd$: $ (\frac{a}{b} + \frac{c}{d}) \cdot \frac{e}{f} = (\frac{ad}{bd} + \frac{cb}{bd}) \cdot \frac{e}{f} = \frac{ad + cb}{bd} \cdot \frac{e}{f} = \frac{(ad + cb)e}{bdf} = \frac{ade + cbe}{bdf} $. Теперь преобразуем правую часть. Выполним умножение, а затем сложение, приведя к общему знаменателю $bdf$: $ \frac{a}{b} \cdot \frac{e}{f} + \frac{c}{d} \cdot \frac{e}{f} = \frac{ae}{bf} + \frac{ce}{df} = \frac{ae \cdot d}{bf \cdot d} + \frac{ce \cdot b}{df \cdot b} = \frac{aed}{bfd} + \frac{ceb}{dfb} = \frac{ade + cbe}{bdf} $. Левая и правая части равны, что и требовалось доказать.
Ответ: Переместительное, сочетательное и распределительное свойства умножения дробей доказаны на основе свойств операций над целыми числами и определений операций над дробями.

б) Введем буквенное обозначение. Пусть $ \frac{a}{b} $ — произвольная дробь, где $a$ — целое число, а $b$ — натуральное число.

Умножение дроби на 0: $ \frac{a}{b} \cdot 0 = 0 $.
Доказательство: Число 0 можно представить в виде дроби с числителем 0 и любым натуральным знаменателем, например $ 0 = \frac{0}{1} $. Тогда по правилу умножения дробей: $ \frac{a}{b} \cdot 0 = \frac{a}{b} \cdot \frac{0}{1} = \frac{a \cdot 0}{b \cdot 1} = \frac{0}{b} $. Дробь, у которой числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю, равна нулю. Следовательно, $ \frac{a}{b} \cdot 0 = 0 $.

Умножение дроби на 1: $ \frac{a}{b} \cdot 1 = \frac{a}{b} $.
Доказательство: Число 1 можно представить в виде дроби, у которой числитель и знаменатель равны, например $ 1 = \frac{1}{1} $. Тогда по правилу умножения дробей: $ \frac{a}{b} \cdot 1 = \frac{a}{b} \cdot \frac{1}{1} = \frac{a \cdot 1}{b \cdot 1} = \frac{a}{b} $. Следовательно, $ \frac{a}{b} \cdot 1 = \frac{a}{b} $.
Ответ: Доказано, что при умножении любой дроби на 0 в результате получается 0, а при умножении на 1 — та же самая дробь.