Номер 301, страница 61, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

Глава 3, §2, п.3

301 Найди значение выражения:

1) $ \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5}; $

2) $ \frac{6}{7} \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{9}{10} \cdot \frac{10}{11}; $

3) $ \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \ldots \cdot \frac{23}{24} \cdot \frac{24}{25}; $

4) $ 1\frac{1}{2} \cdot 1\frac{1}{3} \cdot 1\frac{1}{4} \cdot 1\frac{1}{5}; $

5) $ (1+\frac{1}{4}) \cdot (1+\frac{1}{5}) \cdot (1+\frac{1}{6}) \cdot (1+\frac{1}{7}) \cdot (1+\frac{1}{8}); $

6) $ (1-\frac{1}{2}) \cdot (1-\frac{1}{3}) \cdot (1-\frac{1}{4}) \cdot \ldots \cdot (1-\frac{1}{99}) \cdot (1-\frac{1}{100}). $

1) Чтобы найти значение выражения $ \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} $, нужно перемножить дроби. В данном произведении числитель каждой дроби (кроме первой) и знаменатель предыдущей дроби равны, поэтому они сокращаются.
$ \frac{1}{\cancel{2}} \cdot \frac{\cancel{2}}{\cancel{3}} \cdot \frac{\cancel{3}}{\cancel{4}} \cdot \frac{\cancel{4}}{5} $
После сокращения всех пар чисел остается числитель первой дроби, равный 1, и знаменатель последней дроби, равный 5.
Результатом является дробь $ \frac{1}{5} $.
Ответ: $ \frac{1}{5} $.

2) В выражении $ \frac{6}{7} \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{9}{10} \cdot \frac{10}{11} $ также происходит сокращение. Числитель каждой следующей дроби равен знаменателю предыдущей.
$ \frac{6}{\cancel{7}} \cdot \frac{\cancel{7}}{\cancel{8}} \cdot \frac{\cancel{8}}{\cancel{9}} \cdot \frac{\cancel{9}}{\cancel{10}} \cdot \frac{\cancel{10}}{11} $
После сокращения остается числитель первой дроби, равный 6, и знаменатель последней дроби, равный 11.
Результатом является дробь $ \frac{6}{11} $.
Ответ: $ \frac{6}{11} $.

3) Выражение $ \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot ... \cdot \frac{23}{24} \cdot \frac{24}{25} $ представляет собой произведение дробей, где многоточие указывает на продолжение последовательности. Как и в предыдущих примерах, числители и знаменатели последовательно сокращаются.
$ \frac{1}{\cancel{2}} \cdot \frac{\cancel{2}}{\cancel{3}} \cdot \frac{\cancel{3}}{4} \cdot ... \cdot \frac{23}{\cancel{24}} \cdot \frac{\cancel{24}}{25} $
Все промежуточные множители сократятся. Останется только числитель первой дроби (1) и знаменатель последней дроби (25).
Результат равен $ \frac{1}{25} $.
Ответ: $ \frac{1}{25} $.

4) Для решения выражения $ 1\frac{1}{2} \cdot 1\frac{1}{3} \cdot 1\frac{1}{4} \cdot 1\frac{1}{5} $ сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.
$ 1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2} $
$ 1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3} $
$ 1\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{5}{4} $
$ 1\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{6}{5} $
Теперь перемножим полученные дроби: $ \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{6}{5} $.
В этом произведении знаменатель каждой дроби (кроме последней) сокращается с числителем следующей дроби.
$ \frac{\cancel{3}}{2} \cdot \frac{\cancel{4}}{\cancel{3}} \cdot \frac{\cancel{5}}{\cancel{4}} \cdot \frac{6}{\cancel{5}} $
Остается знаменатель первой дроби (2) и числитель последней дроби (6).
$ \frac{6}{2} = 3 $
Ответ: $ 3 $.

5) В выражении $ (1+\frac{1}{4}) \cdot (1+\frac{1}{5}) \cdot (1+\frac{1}{6}) \cdot (1+\frac{1}{7}) \cdot (1+\frac{1}{8}) $ сначала выполним действия в скобках.
$ 1+\frac{1}{4} = \frac{4}{4} + \frac{1}{4} = \frac{5}{4} $
$ 1+\frac{1}{5} = \frac{5}{5} + \frac{1}{5} = \frac{6}{5} $
$ 1+\frac{1}{6} = \frac{6}{6} + \frac{1}{6} = \frac{7}{6} $
$ 1+\frac{1}{7} = \frac{7}{7} + \frac{1}{7} = \frac{8}{7} $
$ 1+\frac{1}{8} = \frac{8}{8} + \frac{1}{8} = \frac{9}{8} $
Теперь перемножим полученные дроби: $ \frac{5}{4} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{7}{6} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{9}{8} $.
Здесь, как и в примере 4, знаменатель каждой дроби сокращается с числителем следующей.
$ \frac{\cancel{5}}{4} \cdot \frac{\cancel{6}}{\cancel{5}} \cdot \frac{\cancel{7}}{\cancel{6}} \cdot \frac{\cancel{8}}{\cancel{7}} \cdot \frac{9}{\cancel{8}} $
Остается знаменатель первой дроби (4) и числитель последней (9).
Результат равен $ \frac{9}{4} $, что можно записать в виде смешанного числа $ 2\frac{1}{4} $.
Ответ: $ 2\frac{1}{4} $.

6) Для вычисления $ (1-\frac{1}{2}) \cdot (1-\frac{1}{3}) \cdot (1-\frac{1}{4}) \cdot ... \cdot (1-\frac{1}{99}) \cdot (1-\frac{1}{100}) $ сначала упростим выражения в скобках.
$ 1-\frac{1}{2} = \frac{2-1}{2} = \frac{1}{2} $
$ 1-\frac{1}{3} = \frac{3-1}{3} = \frac{2}{3} $
$ 1-\frac{1}{4} = \frac{4-1}{4} = \frac{3}{4} $
...
$ 1-\frac{1}{99} = \frac{99-1}{99} = \frac{98}{99} $
$ 1-\frac{1}{100} = \frac{100-1}{100} = \frac{99}{100} $
Получаем произведение: $ \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot ... \cdot \frac{98}{99} \cdot \frac{99}{100} $.
Это произведение аналогично примерам 1 и 3.
$ \frac{1}{\cancel{2}} \cdot \frac{\cancel{2}}{\cancel{3}} \cdot \frac{\cancel{3}}{\cancel{4}} \cdot ... \cdot \frac{\cancel{98}}{\cancel{99}} \cdot \frac{\cancel{99}}{100} $
После последовательного сокращения остается числитель первой дроби (1) и знаменатель последней (100).
Результат равен $ \frac{1}{100} $.
Ответ: $ \frac{1}{100} $.