Номер 307, страница 62, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

307 Великий древнегреческий учёный Архимед (III в. до н. э.) установил, что длина окружности примерно в $3 \frac{1}{7}$ раза больше её диаметра. Пользуясь этим результатом, найди приближённые ответы на вопросы задач.

1) Чему примерно равна длина беговой дорожки ипподрома, имеющей форму круга радиусом $\frac{7}{8}$ км?

2) Диаметр колеса мотоцикла равен $\frac{3}{4}$ м. Колесо делает в минуту $233 \frac{1}{3}$ оборота. Чему примерно равна скорость мотоцикла в час?

3) На пруду сделаны для конькобежцев две круговые дорожки. Расстояние между дорожками $3 \frac{1}{2}$ м. Отец с сыном сделали по 8 кругов. Сын ехал по внутренней дорожке, а отец – по внешней. На сколько примерно метров больше проехал отец, чем сын?

4) Радиусы кругов на двух различных параллелях земного шара составляют соответственно 5600 км и 3500 км. По какой параллели короче «кругосветное» путешествие и примерно на сколько километров?

1) Для нахождения длины беговой дорожки, которая имеет форму окружности, используется формула длины окружности $C = 2\pi r$, где $r$ – это радиус, а число $\pi$ по условию задачи принимается равным $3\frac{1}{7}$.
Радиус ипподрома $r = \frac{7}{8}$ км.
Вычислим длину окружности:
$C \approx 2 \times 3\frac{1}{7} \times \frac{7}{8} = 2 \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{8} = \frac{2 \times 22 \times 7}{7 \times 8} = \frac{44}{8} = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2}$ км.
Ответ: Примерная длина беговой дорожки ипподрома равна $5\frac{1}{2}$ км.

2) Сначала найдем длину окружности колеса мотоцикла по формуле $C = \pi d$, где $d$ – диаметр. Это расстояние, которое мотоцикл проезжает за один полный оборот колеса.
Диаметр колеса $d = \frac{3}{4}$ м, а $\pi \approx 3\frac{1}{7} = \frac{22}{7}$.
$C \approx \frac{22}{7} \times \frac{3}{4} = \frac{22 \times 3}{7 \times 4} = \frac{66}{28} = \frac{33}{14}$ м.
Колесо делает $233\frac{1}{3}$ оборота в минуту. Переведем это в неправильную дробь: $233\frac{1}{3} = \frac{233 \times 3 + 1}{3} = \frac{700}{3}$ оборотов в минуту.
Теперь найдем расстояние, которое мотоцикл проезжает за минуту:
Расстояние = (длина окружности) $\times$ (число оборотов в минуту) = $\frac{33}{14} \times \frac{700}{3} = \frac{33 \times 700}{14 \times 3} = \frac{11 \times 700}{14} = 11 \times 50 = 550$ м/мин.
Осталось перевести скорость из метров в минуту в километры в час. В 1 часе 60 минут, а в 1 километре 1000 метров.
Скорость = $550$ м/мин $= 550 \times 60$ м/ч $= 33000$ м/ч $= \frac{33000}{1000}$ км/ч $= 33$ км/ч.
Ответ: Примерная скорость мотоцикла равна 33 км/ч.

3) Пусть $r_1$ – радиус внутренней дорожки (по которой ехал сын), а $r_2$ – радиус внешней дорожки (по которой ехал отец). Из условия известно, что расстояние между дорожками составляет $3\frac{1}{2}$ м. Это означает, что разница их радиусов равна $r_2 - r_1 = 3\frac{1}{2}$ м.
За один круг сын проезжает расстояние $C_1 = 2\pi r_1$, а отец – $C_2 = 2\pi r_2$.
Разница в расстоянии за один круг составляет: $\Delta C = C_2 - C_1 = 2\pi r_2 - 2\pi r_1 = 2\pi(r_2 - r_1)$.
Подставим известные значения, используя $\pi \approx 3\frac{1}{7} = \frac{22}{7}$ и разницу радиусов $3\frac{1}{2} = \frac{7}{2}$ м:
$\Delta C \approx 2 \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} = 22$ м.
Таким образом, за один круг отец проезжает на 22 метра больше, чем сын.
Так как они оба сделали по 8 кругов, то общая разница в пройденном расстоянии будет:
Общая разница = $8 \times \Delta C = 8 \times 22 = 176$ м.
Ответ: Отец проехал примерно на 176 метров больше, чем сын.

4) "Кругосветное" путешествие по параллели представляет собой движение по окружности. Чтобы определить, какое путешествие короче, нужно сравнить длины двух окружностей, используя формулу $C = 2\pi r$.
Длина первой параллели с радиусом $r_1 = 5600$ км:
$C_1 \approx 2 \times 3\frac{1}{7} \times 5600 = 2 \times \frac{22}{7} \times 5600 = 2 \times 22 \times \frac{5600}{7} = 44 \times 800 = 35200$ км.
Длина второй параллели с радиусом $r_2 = 3500$ км:
$C_2 \approx 2 \times 3\frac{1}{7} \times 3500 = 2 \times \frac{22}{7} \times 3500 = 2 \times 22 \times \frac{3500}{7} = 44 \times 500 = 22000$ км.
Сравнивая полученные длины, $22000 < 35200$, мы видим, что путешествие по параллели с меньшим радиусом (3500 км) короче.
Найдем, на сколько километров оно короче:
Разница = $C_1 - C_2 = 35200 - 22000 = 13200$ км.
Ответ: «Кругосветное» путешествие короче по параллели с радиусом 3500 км, и оно короче примерно на 13200 км.