Номер 314, страница 63, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

314 При каких значениях переменной верно равенство:

1) $\frac{a}{5} \cdot \frac{5}{6} = 1;$

2) $\frac{3}{8} \cdot \frac{8}{b} = 1;$

3) $\frac{1}{9} \cdot \frac{c}{1} = 1;$

4) $\frac{7}{d} \cdot \frac{d}{7} = 1?$

Что ты наблюдаешь? Сделай вывод.

1) Чтобы найти значение переменной a, решим уравнение $ \frac{a}{5} \cdot \frac{5}{6} = 1 $.
При умножении дробей перемножаются их числители и знаменатели: $ \frac{a \cdot 5}{5 \cdot 6} = 1 $.
Сократим дробь на 5: $ \frac{a}{6} = 1 $.
Чтобы найти неизвестное делимое a, нужно частное (1) умножить на делитель (6):
$ a = 1 \cdot 6 $
$ a = 6 $
Ответ: $ a = 6 $.

2) Решим уравнение $ \frac{3}{8} \cdot \frac{8}{b} = 1 $.
Перемножим дроби: $ \frac{3 \cdot 8}{8 \cdot b} = 1 $.
Сократим дробь на 8: $ \frac{3}{b} = 1 $.
Чтобы найти неизвестный делитель b, нужно делимое (3) разделить на частное (1):
$ b = 3 \div 1 $
$ b = 3 $
Знаменатель дроби не может быть равен нулю, $ b \ne 0 $. Условие выполняется.
Ответ: $ b = 3 $.

3) Решим уравнение $ \frac{1}{9} \cdot \frac{c}{1} = 1 $.
Перемножим дроби: $ \frac{1 \cdot c}{9 \cdot 1} = 1 $.
Упростим выражение: $ \frac{c}{9} = 1 $.
Найдем неизвестное делимое c:
$ c = 1 \cdot 9 $
$ c = 9 $
Ответ: $ c = 9 $.

4) Рассмотрим равенство $ \frac{7}{d} \cdot \frac{d}{7} = 1 $.
Перемножим дроби: $ \frac{7 \cdot d}{d \cdot 7} = 1 $.
Числитель и знаменатель равны ($ 7d $), поэтому их частное равно 1, при условии, что они не равны нулю.
$ 1 = 1 $
Равенство верно при любом значении d, при котором знаменатели исходных дробей не равны нулю. В данном случае $ d \ne 0 $.
Ответ: при любом значении d, кроме $ d = 0 $.

Что ты наблюдаешь? Сделай вывод.
Наблюдение: Во всех четырех случаях мы находим значение переменной, при котором произведение двух дробей становится равным 1. Подставив найденные значения, мы видим, что дроби в каждой паре являются взаимно обратными, то есть числитель одной дроби равен знаменателю другой, и наоборот.
1) $ \frac{a}{5} \cdot \frac{5}{6} = 1 \implies a=6 \implies \frac{6}{5} \cdot \frac{5}{6} = 1 $
2) $ \frac{3}{8} \cdot \frac{8}{b} = 1 \implies b=3 \implies \frac{3}{8} \cdot \frac{8}{3} = 1 $
3) $ \frac{1}{9} \cdot \frac{c}{1} = 1 \implies c=9 \implies \frac{1}{9} \cdot \frac{9}{1} = 1 $
4) $ \frac{7}{d} \cdot \frac{d}{7} = 1 $ верно при любом $ d \ne 0 $.
Вывод: Чтобы произведение двух чисел было равно единице, эти числа должны быть взаимно обратными. Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1. Для дроби $ \frac{p}{q} $ обратной является дробь $ \frac{q}{p} $ (при $ p \ne 0 $ и $ q \ne 0 $).
Ответ: равенство верно при таких значениях переменной, которые делают перемножаемые дроби взаимно обратными.