Номер 318, страница 64, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

$\Pi$ 318

1) Напиши все числа, взаимно простые с числом 12 и меньшие его.

Все ли они являются простыми?

2) Напиши все числа, взаимно простые с числом 10 и меньшие его. Сколько среди этих чисел простых, а сколько составных?

1)

Взаимно простыми называются числа, которые не имеют общих делителей, кроме 1. Иначе говоря, их наибольший общий делитель (НОД) равен 1.

Для того чтобы найти все числа, взаимно простые с числом 12 и меньшие его, необходимо рассмотреть все натуральные числа от 1 до 11.

Разложим число 12 на простые множители: $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$.
Число будет взаимно простым с 12, если оно не будет иметь с ним общих простых делителей, то есть не будет делиться ни на 2, ни на 3.

Проверим числа от 1 до 11:

- 1: НОД(1, 12) = 1. Число 1 взаимно простое с любым натуральным числом. Подходит.
- 2: Делится на 2. Не подходит.
- 3: Делится на 3. Не подходит.
- 4: Делится на 2. Не подходит.
- 5: Не делится ни на 2, ни на 3. НОД(5, 12) = 1. Подходит.
- 6: Делится на 2 (и на 3). Не подходит.
- 7: Не делится ни на 2, ни на 3. НОД(7, 12) = 1. Подходит.
- 8: Делится на 2. Не подходит.
- 9: Делится на 3. Не подходит.
- 10: Делится на 2. Не подходит.
- 11: Не делится ни на 2, ни на 3. НОД(11, 12) = 1. Подходит.

Таким образом, числа, взаимно простые с 12 и меньшие его, это: 1, 5, 7, 11.

Теперь ответим на вопрос: все ли они являются простыми?
- Число 1 не является ни простым, ни составным.
- Число 5 — простое.
- Число 7 — простое.
- Число 11 — простое.
Поскольку в этом списке есть число 1, которое не является простым, то не все эти числа являются простыми.

Ответ: Числа, взаимно простые с 12 и меньшие его, — 1, 5, 7, 11. Не все они являются простыми, так как 1 не является простым числом.

2)

Аналогично найдем все числа, взаимно простые с числом 10 и меньшие его. Это числа от 1 до 9.

Разложим число 10 на простые множители: $10 = 2 \cdot 5$.
Мы ищем числа, которые не делятся ни на 2, ни на 5.

Проверим числа от 1 до 9:

- 1: НОД(1, 10) = 1. Подходит.
- 2: Делится на 2. Не подходит.
- 3: Не делится ни на 2, ни на 5. НОД(3, 10) = 1. Подходит.
- 4: Делится на 2. Не подходит.
- 5: Делится на 5. Не подходит.
- 6: Делится на 2. Не подходит.
- 7: Не делится ни на 2, ни на 5. НОД(7, 10) = 1. Подходит.
- 8: Делится на 2. Не подходит.
- 9: Не делится ни на 2, ни на 5. НОД(9, 10) = 1. Подходит.

Числа, взаимно простые с 10 и меньшие его: 1, 3, 7, 9.

Теперь определим, сколько среди них простых и сколько составных.
- 1 не является ни простым, ни составным.
- 3 — простое число.
- 7 — простое число.
- 9 — составное число, так как делится не только на 1 и 9, но и на 3 ($9 = 3 \cdot 3$).
Следовательно, в этом списке 2 простых числа (3 и 7) и 1 составное число (9).

Ответ: Числа, взаимно простые с 10 и меньшие его, — 1, 3, 7, 9. Среди этих чисел 2 простых и 1 составное.