Номер 321, страница 64, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

321 Используя свойства делимости суммы, разности и произведения натуральных чисел, докажи, что:

а) если дробь $\frac{p}{q}$ сократима, то дроби $\frac{q}{p}$, $\frac{p-q}{q}$, $\frac{q+p}{p}$, $\frac{p-2q}{q}$ также сократимы;

б) если дробь $\frac{p}{q}$ несократима, то дроби $\frac{q}{p}$, $\frac{p-q}{q}$, $\frac{q+p}{p}$, $\frac{p-2q}{q}$ также несократимы.

а)

Дробь является сократимой, если ее числитель и знаменатель имеют общий делитель, больший 1. По условию, дробь $p/q$ сократима. Это означает, что существует натуральное число $d > 1$, которое является делителем и для $p$, и для $q$. То есть $p$ делится на $d$ (пишется $p \vdots d$) и $q$ делится на $d$ (пишется $q \vdots d$).

Используем свойства делимости суммы, разности и произведения:

1. Дробь $q/p$: Ее числитель $q$ и знаменатель $p$ по условию имеют общий делитель $d > 1$. Следовательно, дробь $q/p$ сократима.

2. Дробь $(p-q)/q$: Так как $p \vdots d$ и $q \vdots d$, то по свойству делимости разности их разность $(p-q)$ также делится на $d$. Значит, числитель $(p-q)$ и знаменатель $q$ имеют общий делитель $d > 1$. Следовательно, дробь $(p-q)/q$ сократима.

3. Дробь $(q+p)/p$: Так как $q \vdots d$ и $p \vdots d$, то по свойству делимости суммы их сумма $(q+p)$ также делится на $d$. Значит, числитель $(q+p)$ и знаменатель $p$ имеют общий делитель $d > 1$. Следовательно, дробь $(q+p)/p$ сократима.

4. Дробь $(p-2q)/q$: Так как $q \vdots d$, то по свойству делимости произведения число $2q$ также делится на $d$. Так как $p \vdots d$ и $2q \vdots d$, то по свойству делимости разности их разность $(p-2q)$ также делится на $d$. Значит, числитель $(p-2q)$ и знаменатель $q$ имеют общий делитель $d > 1$. Следовательно, дробь $(p-2q)/q$ сократима.

Мы доказали, что для каждой дроби числитель и знаменатель имеют общий делитель $d > 1$, следовательно, все дроби являются сократимыми.

Ответ: утверждение доказано.

б)

Дробь является несократимой, если ее числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами, то есть их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. По условию, дробь $p/q$ несократима, значит $НОД(p, q) = 1$.

Доказательство будем вести, используя свойство делимости: если число $d$ делит два числа, то оно делит и их сумму, и их разность. Мы докажем, что у числителя и знаменателя каждой из дробей нет общих натуральных делителей, кроме 1.

1. Дробь $q/p$: Наибольший общий делитель не зависит от порядка чисел, то есть $НОД(q, p) = НОД(p, q)$. Так как $НОД(p, q) = 1$, то и $НОД(q, p) = 1$. Значит, дробь $q/p$ несократима.

2. Дробь $(p-q)/q$: Пусть $d$ – общий натуральный делитель числителя $(p-q)$ и знаменателя $q$. Тогда $(p-q)$ делится на $d$, и $q$ делится на $d$. Согласно свойству делимости суммы, их сумма $(p-q) + q = p$ также должна делиться на $d$. Таким образом, $d$ является общим делителем чисел $p$ и $q$. Но по условию $НОД(p, q) = 1$, значит, их единственный общий натуральный делитель – это 1. Следовательно, $d=1$. Это означает, что $НОД(p-q, q) = 1$, и дробь $(p-q)/q$ несократима.

3. Дробь $(q+p)/p$: Пусть $d$ – общий натуральный делитель числителя $(q+p)$ и знаменателя $p$. Тогда $(q+p)$ делится на $d$, и $p$ делится на $d$. Согласно свойству делимости разности, их разность $(q+p) - p = q$ также должна делиться на $d$. Таким образом, $d$ является общим делителем чисел $q$ и $p$. Так как $НОД(p, q) = 1$, то $d=1$. Это означает, что $НОД(q+p, p) = 1$, и дробь $(q+p)/p$ несократима.

4. Дробь $(p-2q)/q$: Пусть $d$ – общий натуральный делитель числителя $(p-2q)$ и знаменателя $q$. Тогда $(p-2q)$ делится на $d$, и $q$ делится на $d$. Если $q$ делится на $d$, то по свойству делимости произведения, $2q$ также делится на $d$. Согласно свойству делимости суммы, сумма $(p-2q) + 2q = p$ также должна делиться на $d$. Таким образом, $d$ является общим делителем чисел $p$ и $q$. Так как $НОД(p, q) = 1$, то $d=1$. Это означает, что $НОД(p-2q, q) = 1$, и дробь $(p-2q)/q$ несократима.

Мы доказали, что во всех случаях наибольший общий делитель числителя и знаменателя равен 1, следовательно, все дроби являются несократимыми.

Ответ: утверждение доказано.