Номер 320, страница 64, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

320 Приведи к несократимому виду дроби:

а) $ \frac{22 \cdot 333 \cdot 44 \cdot 555}{222 \cdot 33 \cdot 444 \cdot 55} $, $ \frac{20082008}{20092009} $, $ \frac{2008 \cdot 20092009}{2009 \cdot 20082008} $; $ \frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \ldots \cdot 200}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot 100} $

б) $ \frac{12345679}{111111111} $, $ \frac{12345679}{222222222} $, $ \frac{12345679}{333333333} $, $ \frac{12345679}{555555555} $, $ \frac{12345679}{777777777} $.

a)

Рассмотрим каждую дробь по отдельности.

Первая дробь: $ \frac{22 \cdot 333 \cdot 44 \cdot 555}{222 \cdot 33 \cdot 444 \cdot 55} $

Сгруппируем множители в виде дробей и сократим их:

$ \frac{22}{222} \cdot \frac{333}{33} \cdot \frac{44}{444} \cdot \frac{555}{55} = \frac{2 \cdot 11}{2 \cdot 111} \cdot \frac{3 \cdot 111}{3 \cdot 11} \cdot \frac{4 \cdot 11}{4 \cdot 111} \cdot \frac{5 \cdot 111}{5 \cdot 11} $

После сокращения одинаковых множителей в каждой дроби получаем:

$ \frac{11}{111} \cdot \frac{111}{11} \cdot \frac{11}{111} \cdot \frac{111}{11} = 1 \cdot 1 = 1 $

Ответ: $1$.

Вторая дробь: $ \frac{20\,082\,008}{20\,092\,009} $

Заметим, что числитель и знаменатель можно представить в виде произведения, используя свойство $abcdabcd = abcd \cdot 10001$.

Числитель: $ 20\,082\,008 = 2008 \cdot 10001 $.

Знаменатель: $ 20\,092\,009 = 2009 \cdot 10001 $.

Подставим эти выражения в дробь и сократим общий множитель $10001$:

$ \frac{2008 \cdot 10001}{2009 \cdot 10001} = \frac{2008}{2009} $

Эта дробь несократима, так как числа $2008$ и $2009$ являются взаимно простыми.

Ответ: $ \frac{2008}{2009} $.

Третья дробь: $ \frac{2008 \cdot 20\,092\,009}{2009 \cdot 20\,082\,008} $

Используем разложения из предыдущего пункта:

$ 20\,092\,009 = 2009 \cdot 10001 $

$ 20\,082\,008 = 2008 \cdot 10001 $

Подставим в дробь:

$ \frac{2008 \cdot (2009 \cdot 10001)}{2009 \cdot (2008 \cdot 10001)} = \frac{2008 \cdot 2009 \cdot 10001}{2009 \cdot 2008 \cdot 10001} = 1 $

Ответ: $1$.

Четвертая дробь: $ \frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \ldots \cdot 200}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot 100} $

Знаменатель — это произведение натуральных чисел от 1 до 100, то есть $100!$ (100-факториал).

Числитель — это произведение всех четных чисел от 2 до 200. Вынесем из каждого множителя в числителе двойку. Так как множителей 100, мы выносим $2^{100}$:

$ 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 200 = (2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 3) \cdot \ldots \cdot (2 \cdot 100) = 2^{100} \cdot (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 100) = 2^{100} \cdot 100! $

Теперь сократим дробь:

$ \frac{2^{100} \cdot 100!}{100!} = 2^{100} $

Ответ: $2^{100}$.

б)

Для упрощения всех дробей в этом пункте воспользуемся математическим свойством: $ 12\,345\,679 \times 9 = 111\,111\,111 $. Обозначим $ N = 12\,345\,679 $, тогда $ 111\,111\,111 = 9N $.

Первая дробь: $ \frac{12\,345\,679}{111\,111\,111} $

$ \frac{N}{9N} = \frac{1}{9} $

Ответ: $ \frac{1}{9} $.

Вторая дробь: $ \frac{12\,345\,679}{222\,222\,222} $

Знаменатель $ 222\,222\,222 = 2 \cdot 111\,111\,111 = 2 \cdot (9N) = 18N $.

$ \frac{N}{18N} = \frac{1}{18} $

Ответ: $ \frac{1}{18} $.

Третья дробь: $ \frac{12\,345\,679}{333\,333\,333} $

Знаменатель $ 333\,333\,333 = 3 \cdot 111\,111\,111 = 3 \cdot (9N) = 27N $.

$ \frac{N}{27N} = \frac{1}{27} $

Ответ: $ \frac{1}{27} $.

Четвертая дробь: $ \frac{12\,345\,679}{555\,555\,555} $

Знаменатель $ 555\,555\,555 = 5 \cdot 111\,111\,111 = 5 \cdot (9N) = 45N $.

$ \frac{N}{45N} = \frac{1}{45} $

Ответ: $ \frac{1}{45} $.

Пятая дробь: $ \frac{12\,345\,679}{777\,777\,777} $

Знаменатель $ 777\,777\,777 = 7 \cdot 111\,111\,111 = 7 \cdot (9N) = 63N $.

$ \frac{N}{63N} = \frac{1}{63} $

Ответ: $ \frac{1}{63} $.