Номер 317, страница 63, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

317 Игра «Интеллектуальный марафон»

Найди произведение всех чисел, сидящих на каждом дереве.

$ \frac{39}{15} $

$ \frac{25}{7} $

$ \frac{19}{14} $

$ \frac{13}{18} $

$ \frac{11}{39} $

$ \frac{15}{73} $

$ \frac{18}{25} $

$ \frac{73}{13} $

$ \frac{7}{19} $

$ \frac{14}{11} $

$ 3\frac{3}{4} $

$ 2\frac{1}{9} $

$ \frac{4}{27} $

$ \frac{8}{23} $

$ 7\frac{2}{3} $

$ 1\frac{2}{7} $

$ 1\frac{1}{6} $

$ 5\frac{1}{8} $

$ \frac{6}{41} $

$ 1\frac{8}{19} $

$ 31\frac{2}{3} $

$ \frac{5}{61} $

$ 1\frac{8}{11} $

$ 5\frac{1}{2} $

$ 1\frac{5}{12} $

$ 2\frac{13}{24} $

$ 2\frac{2}{5} $

$ 1\frac{5}{19} $

$ \frac{3}{17} $

$ \frac{2}{95} $

Левое дерево

Для нахождения произведения, перемножим все дроби, расположенные на левом дереве: $P_1 = \frac{39}{15} \times \frac{25}{7} \times \frac{19}{14} \times \frac{13}{18} \times \frac{11}{39} \times \frac{15}{73} \times \frac{18}{25} \times \frac{73}{13} \times \frac{7}{19} \times \frac{14}{11}$.

Сгруппируем числители и знаменатели: $P_1 = \frac{39 \times 25 \times 19 \times 13 \times 11 \times 15 \times 18 \times 73 \times 7 \times 14}{15 \times 7 \times 14 \times 18 \times 39 \times 73 \times 25 \times 13 \times 19 \times 11}$.

Замечаем, что каждому множителю в числителе соответствует такой же множитель в знаменателе. После сокращения всех дробей получаем:

$P_1 = \frac{\cancel{39} \times \cancel{25} \times \cancel{19} \times \cancel{13} \times \cancel{11} \times \cancel{15} \times \cancel{18} \times \cancel{73} \times \cancel{7} \times \cancel{14}}{\cancel{15} \times \cancel{7} \times \cancel{14} \times \cancel{18} \times \cancel{39} \times \cancel{73} \times \cancel{25} \times \cancel{13} \times \cancel{19} \times \cancel{11}} = 1$.

Ответ: 1

Среднее дерево (ёлка)

Сначала переведем все смешанные числа в неправильные дроби. Числа на ёлке: $3\frac{3}{4}=\frac{15}{4}$, $2\frac{1}{9}=\frac{19}{9}$, $\frac{4}{27}$, $\frac{8}{23}$, $7\frac{2}{3}=\frac{23}{3}$, $1\frac{1}{6}=\frac{7}{6}$, $5\frac{1}{8}=\frac{41}{8}$, $\frac{6}{41}$, $\frac{8}{19}$.

Девочка держит в руках фрагмент ёлки с числом $1\frac{2}{7}=\frac{9}{7}$. Будем считать, что это число также относится к ёлке, так как этот фрагмент является частью "пазла". Найдем произведение всех этих чисел.

$P_2 = \frac{15}{4} \times \frac{19}{9} \times \frac{4}{27} \times \frac{8}{23} \times \frac{23}{3} \times \frac{7}{6} \times \frac{41}{8} \times \frac{6}{41} \times \frac{8}{19} \times \frac{9}{7}$.

Сгруппируем числители и знаменатели и проведем сокращение:

$P_2 = \frac{15 \times 19 \times 4 \times 8 \times 23 \times 7 \times 41 \times 6 \times 8 \times 9}{4 \times 9 \times 27 \times 23 \times 3 \times 6 \times 8 \times 41 \times 19 \times 7} = \frac{15 \times \cancel{19} \times \cancel{4} \times \cancel{8} \times \cancel{23} \times \cancel{7} \times \cancel{41} \times \cancel{6} \times 8 \times \cancel{9}}{\cancel{4} \times \cancel{9} \times 27 \times \cancel{23} \times 3 \times \cancel{6} \times \cancel{8} \times \cancel{41} \times \cancel{19} \times \cancel{7}}$.

После сокращения остается: $P_2 = \frac{15 \times 8}{27 \times 3} = \frac{120}{81}$.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 3: $\frac{120 \div 3}{81 \div 3} = \frac{40}{27}$.

Эту неправильную дробь можно представить в виде смешанного числа: $1\frac{13}{27}$.

Ответ: $\frac{40}{27}$

Правое дерево

Сначала переведем все смешанные числа, расположенные на правом дереве, в неправильные дроби: $31\frac{2}{3}=\frac{95}{3}$, $1\frac{8}{11}=\frac{19}{11}$, $5\frac{1}{2}=\frac{11}{2}$, $1\frac{5}{12}=\frac{17}{12}$, $2\frac{13}{24}=\frac{61}{24}$, $2\frac{2}{5}=\frac{12}{5}$, $1\frac{5}{19}=\frac{24}{19}$.

Теперь перемножим все дроби, включая те, что уже были в правильном виде: $P_3 = \frac{95}{3} \times \frac{5}{61} \times \frac{19}{11} \times \frac{11}{2} \times \frac{17}{12} \times \frac{61}{24} \times \frac{12}{5} \times \frac{24}{19} \times \frac{3}{17} \times \frac{2}{95}$.

Сгруппируем числители и знаменатели: $P_3 = \frac{95 \times 5 \times 19 \times 11 \times 17 \times 61 \times 12 \times 24 \times 3 \times 2}{3 \times 61 \times 11 \times 2 \times 12 \times 24 \times 5 \times 19 \times 17 \times 95}$.

Как и в случае с первым деревом, каждому множителю в числителе соответствует такой же множитель в знаменателе. После сокращения всех дробей получаем:

$P_3 = \frac{\cancel{95} \times \cancel{5} \times \cancel{19} \times \cancel{11} \times \cancel{17} \times \cancel{61} \times \cancel{12} \times \cancel{24} \times \cancel{3} \times \cancel{2}}{\cancel{3} \times \cancel{61} \times \cancel{11} \times \cancel{2} \times \cancel{12} \times \cancel{24} \times \cancel{5} \times \cancel{19} \times \cancel{17} \times \cancel{95}} = 1$.

Ответ: 1