Номер 313, страница 63, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

313 Упрости выражение и найди его значение:

1) $3\frac{1}{2}a + \frac{5}{6} + 2\frac{5}{8}a + 1\frac{3}{4}$, если $a = 0, 1, 4, \frac{8}{49}, 1\frac{5}{7}$;

2) $4\frac{1}{6}b + 1\frac{1}{3} + 1\frac{9}{10}b + 2$, если $b = 0, 1, 5, \frac{3}{13}, 1\frac{2}{7}$.

1) Сначала упростим выражение $3\frac{1}{2}a + \frac{5}{6} + 2\frac{5}{8}a + 1\frac{3}{4}$.

Для этого сгруппируем слагаемые, содержащие переменную $a$, и свободные члены (числа):

$(3\frac{1}{2}a + 2\frac{5}{8}a) + (\frac{5}{6} + 1\frac{3}{4})$

Теперь сложим коэффициенты при $a$:

$3\frac{1}{2} + 2\frac{5}{8} = (3+2) + (\frac{1}{2} + \frac{5}{8}) = 5 + (\frac{4}{8} + \frac{5}{8}) = 5 + \frac{9}{8} = 5 + 1\frac{1}{8} = 6\frac{1}{8}$.

Затем сложим свободные члены:

$\frac{5}{6} + 1\frac{3}{4} = 1 + (\frac{5}{6} + \frac{3}{4}) = 1 + (\frac{10}{12} + \frac{9}{12}) = 1 + \frac{19}{12} = 1 + 1\frac{7}{12} = 2\frac{7}{12}$.

Таким образом, упрощенное выражение имеет вид: $6\frac{1}{8}a + 2\frac{7}{12}$.

Теперь подставим в него заданные значения $a$. Для удобства вычислений представим выражение через неправильные дроби: $\frac{49}{8}a + \frac{31}{12}$.

Если $a = 0$, то $\frac{49}{8} \cdot 0 + \frac{31}{12} = 0 + \frac{31}{12} = 2\frac{7}{12}$.

Если $a = 1$, то $\frac{49}{8} \cdot 1 + \frac{31}{12} = \frac{49}{8} + \frac{31}{12} = \frac{147}{24} + \frac{62}{24} = \frac{209}{24} = 8\frac{17}{24}$.

Если $a = 4$, то $\frac{49}{8} \cdot 4 + \frac{31}{12} = \frac{49}{2} + \frac{31}{12} = \frac{294}{12} + \frac{31}{12} = \frac{325}{12} = 27\frac{1}{12}$.

Если $a = \frac{8}{49}$, то $\frac{49}{8} \cdot \frac{8}{49} + \frac{31}{12} = 1 + \frac{31}{12} = 1 + 2\frac{7}{12} = 3\frac{7}{12}$.

Если $a = 1\frac{5}{7} = \frac{12}{7}$, то $\frac{49}{8} \cdot \frac{12}{7} + \frac{31}{12} = \frac{7 \cdot 12}{8} + \frac{31}{12} = \frac{21}{2} + \frac{31}{12} = \frac{126}{12} + \frac{31}{12} = \frac{157}{12} = 13\frac{1}{12}$.

Ответ: при $a=0$ значение равно $2\frac{7}{12}$; при $a=1$ – $8\frac{17}{24}$; при $a=4$ – $27\frac{1}{12}$; при $a=\frac{8}{49}$ – $3\frac{7}{12}$; при $a=1\frac{5}{7}$ – $13\frac{1}{12}$.

2) Сначала упростим выражение $4\frac{1}{6}b + 1\frac{1}{3} + 1\frac{9}{10}b + 2$.

Сгруппируем слагаемые с переменной $b$ и свободные члены:

$(4\frac{1}{6}b + 1\frac{9}{10}b) + (1\frac{1}{3} + 2)$

Сложим коэффициенты при $b$:

$4\frac{1}{6} + 1\frac{9}{10} = (4+1) + (\frac{1}{6} + \frac{9}{10}) = 5 + (\frac{5}{30} + \frac{27}{30}) = 5 + \frac{32}{30} = 5 + \frac{16}{15} = 5 + 1\frac{1}{15} = 6\frac{1}{15}$.

Сложим свободные члены:

$1\frac{1}{3} + 2 = 3\frac{1}{3}$.

Таким образом, упрощенное выражение имеет вид: $6\frac{1}{15}b + 3\frac{1}{3}$.

Теперь подставим в него заданные значения $b$. Для удобства вычислений представим выражение через неправильные дроби: $\frac{91}{15}b + \frac{10}{3}$.

Если $b = 0$, то $\frac{91}{15} \cdot 0 + \frac{10}{3} = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$.

Если $b = 1$, то $\frac{91}{15} \cdot 1 + \frac{10}{3} = \frac{91}{15} + \frac{50}{15} = \frac{141}{15} = \frac{47}{5} = 9\frac{2}{5}$.

Если $b = 5$, то $\frac{91}{15} \cdot 5 + \frac{10}{3} = \frac{91}{3} + \frac{10}{3} = \frac{101}{3} = 33\frac{2}{3}$.

Если $b = \frac{3}{13}$, то $\frac{91}{15} \cdot \frac{3}{13} + \frac{10}{3} = \frac{7 \cdot 13}{5 \cdot 3} \cdot \frac{3}{13} + \frac{10}{3} = \frac{7}{5} + \frac{10}{3} = \frac{21}{15} + \frac{50}{15} = \frac{71}{15} = 4\frac{11}{15}$.

Если $b = 1\frac{2}{7} = \frac{9}{7}$, то $\frac{91}{15} \cdot \frac{9}{7} + \frac{10}{3} = \frac{13 \cdot 7}{15} \cdot \frac{9}{7} + \frac{10}{3} = \frac{13 \cdot 9}{15} + \frac{10}{3} = \frac{13 \cdot 3}{5} + \frac{10}{3} = \frac{39}{5} + \frac{10}{3} = \frac{117}{15} + \frac{50}{15} = \frac{167}{15} = 11\frac{2}{15}$.

Ответ: при $b=0$ значение равно $3\frac{1}{3}$; при $b=1$ – $9\frac{2}{5}$; при $b=5$ – $33\frac{2}{3}$; при $b=\frac{3}{13}$ – $4\frac{11}{15}$; при $b=1\frac{2}{7}$ – $11\frac{2}{15}$.