Номер 309, страница 62, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

309 1) Сравни $a$ и $a \cdot \frac{2}{5}$ при $a=5, 20, \frac{1}{2}, \frac{5}{3}$. Что ты наблюдаешь? Сформулируй гипотезу о том, как изменяется число при его умножении на дробь, меньшую единицы.

2) Сравни $b$ и $b \cdot \frac{5}{2}$ при $b=5, 20, \frac{1}{2}, \frac{5}{3}$. Сформулируй гипотезу о том, как изменяется число при его умножении на дробь, большую единицы.

3) Какой смысл у слова «умножение» в русском языке? Может ли изменяться смысл этого слова, когда мы говорим об умножении дробных чисел?

1)

Сравним число $a$ и произведение $a \cdot \frac{2}{5}$ для каждого заданного значения $a$. Дробь $\frac{2}{5}$ является правильной, так как она меньше единицы ($\frac{2}{5} < 1$).

• При $a = 5$:

  Произведение равно $5 \cdot \frac{2}{5} = \frac{5 \cdot 2}{5} = 2$. Сравниваем $5$ и $2$. Так как $5 > 2$, то $a > a \cdot \frac{2}{5}$.

• При $a = 20$:

  Произведение равно $20 \cdot \frac{2}{5} = \frac{20 \cdot 2}{5} = \frac{40}{5} = 8$. Сравниваем $20$ и $8$. Так как $20 > 8$, то $a > a \cdot \frac{2}{5}$.

• При $a = \frac{1}{2}$:

  Произведение равно $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} = \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$. Сравниваем $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{5}$. Приводя к общему знаменателю 10, получаем $\frac{5}{10}$ и $\frac{2}{10}$. Так как $\frac{5}{10} > \frac{2}{10}$, то $\frac{1}{2} > \frac{1}{5}$, следовательно $a > a \cdot \frac{2}{5}$.

• При $a = \frac{5}{3}$:

  Произведение равно $\frac{5}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{5 \cdot 2}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$. Сравниваем $\frac{5}{3}$ и $\frac{2}{3}$. Так как $5 > 2$, то $\frac{5}{3} > \frac{2}{3}$, следовательно $a > a \cdot \frac{2}{5}$.

Наблюдение: Во всех случаях при умножении числа $a$ на дробь $\frac{2}{5}$, результат оказывался меньше исходного числа $a$.
Гипотеза: При умножении положительного числа на дробь, меньшую единицы, это число уменьшается.

Ответ: При умножении числа на дробь, меньшую единицы, оно уменьшается.

2)

Сравним число $b$ и произведение $b \cdot \frac{5}{2}$ для каждого заданного значения $b$. Дробь $\frac{5}{2}$ является неправильной, так как она больше единицы ($\frac{5}{2} > 1$).

• При $b = 5$:

  Произведение равно $5 \cdot \frac{5}{2} = \frac{25}{2} = 12.5$. Сравниваем $5$ и $12.5$. Так как $5 < 12.5$, то $b < b \cdot \frac{5}{2}$.

• При $b = 20$:

  Произведение равно $20 \cdot \frac{5}{2} = \frac{20 \cdot 5}{2} = 50$. Сравниваем $20$ и $50$. Так как $20 < 50$, то $b < b \cdot \frac{5}{2}$.

• При $b = \frac{1}{2}$:

  Произведение равно $\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{2} = \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 2} = \frac{5}{4}$. Сравниваем $\frac{1}{2}$ и $\frac{5}{4}$. Приводя к общему знаменателю 4, получаем $\frac{2}{4}$ и $\frac{5}{4}$. Так как $\frac{2}{4} < \frac{5}{4}$, то $\frac{1}{2} < \frac{5}{4}$, следовательно $b < b \cdot \frac{5}{2}$.

• При $b = \frac{5}{3}$:

  Произведение равно $\frac{5}{3} \cdot \frac{5}{2} = \frac{5 \cdot 5}{3 \cdot 2} = \frac{25}{6}$. Сравниваем $\frac{5}{3}$ и $\frac{25}{6}$. Приводя к общему знаменателю 6, получаем $\frac{10}{6}$ и $\frac{25}{6}$. Так как $\frac{10}{6} < \frac{25}{6}$, то $\frac{5}{3} < \frac{25}{6}$, следовательно $b < b \cdot \frac{5}{2}$.

Наблюдение: Во всех случаях при умножении числа $b$ на дробь $\frac{5}{2}$, результат оказывался больше исходного числа $b$.
Гипотеза: При умножении положительного числа на дробь, большую единицы, это число увеличивается.

Ответ: При умножении числа на дробь, большую единицы, оно увеличивается.

3)

В бытовом, не математическом, смысле слово «умножение» в русском языке ассоциируется с увеличением, ростом, приумножением. Например, «умножить богатства» означает сделать их больше. Такое понимание складывается из опыта операций с целыми числами (например, $3 \cdot 4 = 12$, что больше и $3$, и $4$).

Когда мы начинаем говорить об умножении дробных чисел, привычный смысл может измениться, так как математическое понятие «умножение» является более широким и общим. Оно не всегда означает увеличение.

Правильнее рассматривать математическое умножение как операцию масштабирования.
1. Умножение на число, большее 1 (например, $10 \cdot 1.5 = 15$), "растягивает" исходное число, то есть увеличивает его. Это совпадает с бытовым смыслом.
2. Умножение на число, меньшее 1 (например, $10 \cdot 0.5 = 5$), "сжимает" исходное число, то есть уменьшает его. Это противоречит бытовому пониманию "умножения" как увеличения. Здесь умножение по сути означает "взятие части от числа".
3. Умножение на 1 ($10 \cdot 1 = 10$) оставляет число без изменений.

Таким образом, смысл слова «умножение» в математике не изменяется, а скорее обобщается и уточняется. Он перестает быть синонимом слова «увеличение» и описывает более сложное действие в зависимости от множителя.

Ответ: В бытовом смысле «умножение» означает увеличение. При работе с дробными числами этот смысл может изменяться. Умножение на дробь, меньшую единицы, приводит к уменьшению, а не к увеличению, что расширяет исходное понятие «умножения» до более общего математического действия масштабирования.