Номер 312, страница 63, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

312. Известно, что некоторое число $b$ меньше 1. Сравни $b^2$ и $b^3$.

Для того чтобы сравнить выражения $b^2$ и $b^3$, рассмотрим их разность: $b^2 - b^3$. Знак этой разности покажет, какое из выражений больше.

Вынесем за скобки общий множитель $b^2$:

$b^2 - b^3 = b^2(1 - b)$

Теперь проанализируем знаки множителей в правой части равенства, учитывая условие $b < 1$.

Множитель $(1 - b)$: так как по условию $b < 1$, разность $1 - b$ всегда будет положительной, то есть $1 - b > 0$.

Множитель $b^2$: квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то есть $b^2 \ge 0$.

Поскольку множитель $(1 - b)$ всегда положителен, знак всей разности $b^2 - b^3$ совпадает со знаком множителя $b^2$. Это требует рассмотрения двух отдельных случаев для $b$.

1. Если $b = 0$

Значение $b=0$ удовлетворяет условию $b < 1$. В этом случае множитель $b^2$ равен $0^2 = 0$. Тогда вся разность равна нулю:

$b^2(1-b) = 0 \cdot (1-0) = 0$

Если разность $b^2 - b^3 = 0$, это означает, что $b^2 = b^3$.

2. Если $b < 1$ и $b \neq 0$

Этот случай охватывает два промежутка: $b < 0$ и $0 < b < 1$. Если $b$ не равно нулю, то его квадрат $b^2$ является строго положительным числом: $b^2 > 0$.

В этом случае оба множителя в выражении $b^2(1 - b)$ положительны: $b^2 > 0$ и $1 - b > 0$. Произведение двух положительных чисел также положительно:

$b^2(1 - b) > 0$

Если разность $b^2 - b^3 > 0$, это означает, что $b^2 > b^3$.

Таким образом, результат сравнения зависит от того, равно ли $b$ нулю.

Ответ: если $b = 0$, то $b^2 = b^3$; если $b < 0$ или $0 < b < 1$, то $b^2 > b^3$.