Номер 319, страница 64, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

319 Докажи или опровергни высказывания:

1) $ \exists p $ – простое число: дробь $ \frac{p}{p+10} $ сократима;

2) $ \exists k $ – составное число: НОД $ (k; 15) = 1; $

3) $ \exists n \in N: \frac{n}{n+10} > 1; $

4) $ \exists m \in N: $ НОК $ (m; 15) = 5. $

1) Высказывание истинно. Докажем это.

Дробь $\frac{p}{p+10}$ сократима, если ее числитель и знаменатель имеют общий делитель, больший 1. То есть, если $НОД(p, p+10) > 1$.

Пусть $d = НОД(p, p+10)$. По свойству НОД, если $d$ делит $p$ и $p+10$, то $d$ делит и их разность: $(p+10) - p = 10$.

Таким образом, $d$ является общим делителем чисел $p$ и $10$. Значит, $d = НОД(p, 10)$.

Для того чтобы дробь была сократима, необходимо, чтобы $d > 1$, то есть $НОД(p, 10) > 1$.

Так как $p$ — простое число, это возможно только в том случае, если $p$ является простым делителем числа $10$. Простые делители числа $10$ — это $2$ и $5$.

Возьмем, например, простое число $p=5$.

Тогда дробь будет иметь вид $\frac{5}{5+10} = \frac{5}{15}$. Эта дробь сократима на 5, так как $НОД(5, 15) = 5$, что больше 1.

Таким образом, существует такое простое число $p$ (например, $p=5$ или $p=2$), при котором дробь сократима.

Ответ: высказывание истинно.

2) Высказывание истинно. Докажем это.

Требуется найти составное число $k$, такое что $НОД(k, 15) = 1$.

Условие $НОД(k, 15) = 1$ означает, что числа $k$ и $15$ взаимно простые, то есть не имеют общих простых делителей.

Разложим число $15$ на простые множители: $15 = 3 \cdot 5$.

Следовательно, искомое число $k$ не должно делиться ни на $3$, ни на $5$.

Также по условию $k$ должно быть составным числом (то есть иметь делители, отличные от $1$ и самого себя).

Рассмотрим несколько первых составных чисел: $4, 6, 8, 9, 10, \ldots$

Проверим число $k=4$. Это составное число, так как $4 = 2 \cdot 2$.

Найдем $НОД(4, 15)$. Простые множители числа 4 это 2, а числа 15 это 3 и 5. У них нет общих простых множителей. Следовательно, $НОД(4, 15)=1$.

Таким образом, существует составное число $k=4$, для которого $НОД(k, 15) = 1$.

Ответ: высказывание истинно.

3) Высказывание ложно. Опровергнем его.

Требуется проверить, существует ли натуральное число $n \in \mathbb{N}$ такое, что выполняется неравенство $\frac{n}{n+10} > 1$.

Поскольку $n$ — натуральное число, то $n > 0$. Следовательно, знаменатель дроби $n+10$ также положителен ($n+10 > 10 > 0$).

Мы можем умножить обе части неравенства на положительное число $n+10$, сохранив знак неравенства:

$n > 1 \cdot (n+10)$

$n > n+10$

Вычтем $n$ из обеих частей неравенства:

$0 > 10$

Полученное неравенство $0 > 10$ является ложным. Так как мы выполняли равносильные преобразования, исходное неравенство также ложно для любого натурального $n$.

Следовательно, не существует такого натурального числа $n$, для которого данное неравенство было бы верным.

Ответ: высказывание ложно.

4) Высказывание ложно. Опровергнем его.

Требуется проверить, существует ли натуральное число $m \in \mathbb{N}$ такое, что $НОК(m, 15) = 5$.

По определению, наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел является числом, которое делится на каждое из этих чисел без остатка.

В данном случае $НОК(m, 15)$ должно делиться и на $m$, и на $15$.

Если $НОК(m, 15) = 5$, то это означает, что $5$ должно быть кратно $15$, то есть $5$ должно делиться на $15$ нацело.

Однако, $5 < 15$, и $5$ не делится на $15$ нацело. Таким образом, $5$ не может быть кратным числа $15$.

В общем случае для любых натуральных чисел $a$ и $b$ справедливо неравенство $НОК(a,b) \ge \max(a,b)$. В нашем случае $НОК(m, 15) \ge 15$. Так как $5 < 15$, равенство $НОК(m, 15) = 5$ невозможно.

Следовательно, не существует такого натурального числа $m$, для которого данное равенство было бы верным.

Ответ: высказывание ложно.