Номер 323, страница 64, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

323 Приведи к несократимому виду дробь:

а) $\frac{2^{100}}{2^{56}}$;

б) $\frac{3^{2007}}{3^{2009}}$;

в) $\frac{2^3 \cdot 3 \cdot 5}{2^2 \cdot 3^2}$;

г) $\frac{2 \cdot 3^3 \cdot 7^2}{3^4 \cdot 5 \cdot 7}$;

д) $\frac{2^2 \cdot 5^3 \cdot 7}{2^5 \cdot 5 \cdot 7^2}$;

е) $\frac{2^4 \cdot 5^2 \cdot 11}{2^6 \cdot 5 \cdot 17}$.

а) Для упрощения дроби $\frac{2^{100}}{2^{56}}$ воспользуемся свойством степени $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$. В данном случае основание $a=2$, показатель степени числителя $m=100$, а знаменателя $n=56$.
$\frac{2^{100}}{2^{56}} = 2^{100-56} = 2^{44}$.
Ответ: $2^{44}$.

б) Упростим дробь $\frac{3^{2007}}{3^{2009}}$, используя свойство степени $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$. Здесь $a=3$, $m=2007$, $n=2009$.
$\frac{3^{2007}}{3^{2009}} = 3^{2007-2009} = 3^{-2}$.
Используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем: $3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.
Ответ: $\frac{1}{9}$.

в) Рассмотрим дробь $\frac{2^3 \cdot 3 \cdot 5}{2^2 \cdot 3^2}$. Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями и сократим их, помня, что $3 = 3^1$.
$\frac{2^3 \cdot 3^1 \cdot 5}{2^2 \cdot 3^2} = \frac{2^3}{2^2} \cdot \frac{3^1}{3^2} \cdot 5 = 2^{3-2} \cdot 3^{1-2} \cdot 5 = 2^1 \cdot 3^{-1} \cdot 5 = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot 5 = \frac{2 \cdot 5}{3} = \frac{10}{3}$.
Ответ: $\frac{10}{3}$.

г) Упростим дробь $\frac{2 \cdot 3^3 \cdot 7^2}{3^4 \cdot 5 \cdot 7}$. Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями и сократим их, помня, что $7=7^1$.
$\frac{2 \cdot 3^3 \cdot 7^2}{3^4 \cdot 5 \cdot 7^1} = \frac{2}{5} \cdot \frac{3^3}{3^4} \cdot \frac{7^2}{7^1} = \frac{2}{5} \cdot 3^{3-4} \cdot 7^{2-1} = \frac{2}{5} \cdot 3^{-1} \cdot 7^1 = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3} \cdot 7 = \frac{2 \cdot 7}{5 \cdot 3} = \frac{14}{15}$.
Ответ: $\frac{14}{15}$.

д) Рассмотрим дробь $\frac{2^2 \cdot 5^3 \cdot 7}{2^5 \cdot 5 \cdot 7^2}$. Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями и сократим их.
$\frac{2^2 \cdot 5^3 \cdot 7^1}{2^5 \cdot 5^1 \cdot 7^2} = \frac{2^2}{2^5} \cdot \frac{5^3}{5^1} \cdot \frac{7^1}{7^2} = 2^{2-5} \cdot 5^{3-1} \cdot 7^{1-2} = 2^{-3} \cdot 5^2 \cdot 7^{-1} = \frac{1}{2^3} \cdot 25 \cdot \frac{1}{7} = \frac{25}{8 \cdot 7} = \frac{25}{56}$.
Ответ: $\frac{25}{56}$.

е) Упростим дробь $\frac{2^4 \cdot 5^2 \cdot 11}{2^6 \cdot 5 \cdot 17}$. Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями.
$\frac{2^4 \cdot 5^2 \cdot 11}{2^6 \cdot 5^1 \cdot 17} = \frac{2^4}{2^6} \cdot \frac{5^2}{5^1} \cdot \frac{11}{17} = 2^{4-6} \cdot 5^{2-1} \cdot \frac{11}{17} = 2^{-2} \cdot 5^1 \cdot \frac{11}{17} = \frac{1}{2^2} \cdot 5 \cdot \frac{11}{17} = \frac{1}{4} \cdot 5 \cdot \frac{11}{17} = \frac{5 \cdot 11}{4 \cdot 17} = \frac{55}{68}$.
Ответ: $\frac{55}{68}$.