Номер 325, страница 65, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

325 1) Переднее колесо экипажа имеет в окружности 225 см, а заднее — 325 см. Какое наименьшее расстояние должен проехать экипаж, чтобы и переднее, и заднее колёса сделали по целому числу оборотов?

2) Из двух сцепляющихся зубчатых колёс одно имеет 28, а другое 16 зубьев. До начала движения краской отмечены два соприкасающихся зубца этих колёс. Через какое минимальное количество оборотов того и другого колеса опять совпадут отметки на них?

1) Чтобы и переднее, и заднее колеса сделали по целому числу оборотов, пройденное экипажем расстояние должно делиться без остатка на длину окружности каждого колеса. Следовательно, искомое расстояние является наименьшим общим кратным (НОК) длин окружностей колес.
Длина окружности переднего колеса — 225 см.
Длина окружности заднего колеса — 325 см.
Найдем НОК(225, 325). Для этого разложим числа на простые множители:
$225 = 3 \cdot 75 = 3 \cdot 3 \cdot 25 = 3^2 \cdot 5^2$
$325 = 5 \cdot 65 = 5 \cdot 5 \cdot 13 = 5^2 \cdot 13$
Для нахождения НОК нужно взять каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях, и перемножить их:
$НОК(225, 325) = 3^2 \cdot 5^2 \cdot 13 = 9 \cdot 25 \cdot 13 = 225 \cdot 13 = 2925$
Таким образом, наименьшее расстояние, которое должен проехать экипаж, составляет 2925 см. За это расстояние переднее колесо сделает $2925 \div 225 = 13$ оборотов, а заднее — $2925 \div 325 = 9$ оборотов.
Ответ: 2925 см.

2) Отмеченные краской зубцы снова совпадут в точке сцепления, когда через эту точку пройдет одинаковое для обоих колёс количество зубьев. Чтобы найти минимальное количество оборотов, нужно найти наименьшее такое количество зубьев. Это число равно наименьшему общему кратному (НОК) числа зубьев каждого колеса.
Первое колесо имеет 28 зубьев.
Второе колесо имеет 16 зубьев.
Найдем НОК(28, 16). Разложим числа на простые множители:
$28 = 2 \cdot 14 = 2^2 \cdot 7$
$16 = 2^4$
Найдем НОК:
$НОК(28, 16) = 2^4 \cdot 7 = 16 \cdot 7 = 112$
Значит, отметки снова совпадут, когда через точку сцепления пройдет 112 зубьев. Теперь определим, сколько полных оборотов для этого совершит каждое колесо.
Количество оборотов первого колеса (с 28 зубьями):
$112 \div 28 = 4$ оборота.
Количество оборотов второго колеса (с 16 зубьями):
$112 \div 16 = 7$ оборотов.
Ответ: первое колесо (28 зубьев) сделает 4 оборота, а второе колесо (16 зубьев) — 7 оборотов.