Номер 324, страница 65, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

324 Как, не выполняя сложения дробей с разными знаменателями, доказать истинность высказывания?

1) $\frac{1}{5} + \frac{1}{6} < \frac{2}{5}$;

2) $\frac{1}{5} + \frac{1}{6} > \frac{1}{3}$;

3) $\frac{2}{7} + \frac{3}{8} < \frac{5}{7}$;

4) $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} < 1$;

5) $\frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} > \frac{3}{8}$;

6) $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} > 1$;

7) $\frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \frac{1}{13} > \frac{3}{13}$;

8) $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{8} < 2$.

Задача состоит в том, чтобы доказать истинность числовых неравенств, не прибегая к прямому сложению дробей с разными знаменателями, то есть без приведения их к общему знаменателю. Вместо этого используется метод сравнения и оценки.

1) $ \frac{1}{5} + \frac{1}{6} < \frac{2}{5} $

Представим правую часть неравенства в виде суммы: $ \frac{2}{5} = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} $.

Теперь неравенство выглядит так: $ \frac{1}{5} + \frac{1}{6} < \frac{1}{5} + \frac{1}{5} $.

Чтобы это неравенство было верным, достаточно сравнить слагаемые, которые в них отличаются. Сравним $ \frac{1}{6} $ и $ \frac{1}{5} $.

Поскольку знаменатель 6 больше знаменателя 5, при одинаковых числителях дробь $ \frac{1}{6} $ будет меньше дроби $ \frac{1}{5} $.

Так как $ \frac{1}{6} < \frac{1}{5} $, то и сумма $ \frac{1}{5} + \frac{1}{6} $ меньше суммы $ \frac{1}{5} + \frac{1}{5} $.

Следовательно, исходное высказывание истинно.

Ответ: Истинно.

2) $ \frac{1}{5} + \frac{1}{6} > \frac{1}{3} $

Сравним слагаемые в левой части. Так как $ 5 < 6 $, то $ \frac{1}{5} > \frac{1}{6} $.

Заменим в сумме $ \frac{1}{5} + \frac{1}{6} $ слагаемое $ \frac{1}{5} $ на меньшее число $ \frac{1}{6} $. Полученная сумма будет меньше исходной:

$ \frac{1}{5} + \frac{1}{6} > \frac{1}{6} + \frac{1}{6} $.

Вычислим сумму в правой части нового неравенства: $ \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $.

Таким образом, мы показали, что $ \frac{1}{5} + \frac{1}{6} > \frac{1}{3} $.

Следовательно, исходное высказывание истинно.

Ответ: Истинно.

3) $ \frac{2}{7} + \frac{3}{8} < \frac{5}{7} $

Представим правую часть неравенства в виде суммы: $ \frac{5}{7} = \frac{2}{7} + \frac{3}{7} $.

Теперь неравенство можно переписать так: $ \frac{2}{7} + \frac{3}{8} < \frac{2}{7} + \frac{3}{7} $.

Чтобы доказать это неравенство, сравним слагаемые $ \frac{3}{8} $ и $ \frac{3}{7} $.

У этих дробей одинаковые числители. Дробь с большим знаменателем будет меньше. Поскольку $ 8 > 7 $, то $ \frac{3}{8} < \frac{3}{7} $.

Так как одно из слагаемых в левой части меньше соответствующего слагаемого в правой части (а другое слагаемое $ \frac{2}{7} $ общее), то и вся сумма слева меньше суммы справа.

Следовательно, исходное высказывание истинно.

Ответ: Истинно.

4) $ \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} < 1 $

В сумме $ \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} $ наибольшим слагаемым является $ \frac{1}{3} $.

Сравним остальные слагаемые с $ \frac{1}{3} $:

$ \frac{1}{4} < \frac{1}{3} $ (так как $ 4 > 3 $).

$ \frac{1}{5} < \frac{1}{3} $ (так как $ 5 > 3 $).

Заменим в левой части неравенства каждое слагаемое на наибольшее из них ($ \frac{1}{3} $), чтобы получить оценку сверху. Сумма от этого только увеличится.

$ \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} < \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} $.

Вычислим сумму справа: $ \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1 $.

Мы получили, что $ \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} < 1 $.

Следовательно, исходное высказывание истинно.

Ответ: Истинно.

5) $ \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} > \frac{3}{8} $

В сумме $ \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} $ наименьшим слагаемым является $ \frac{1}{8} $.

Сравним остальные слагаемые с $ \frac{1}{8} $:

$ \frac{1}{6} > \frac{1}{8} $ (так как $ 6 < 8 $).

$ \frac{1}{7} > \frac{1}{8} $ (так как $ 7 < 8 $).

Заменим в левой части неравенства каждое слагаемое на наименьшее из них ($ \frac{1}{8} $), чтобы получить оценку снизу. Сумма от этого только уменьшится.

$ \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} > \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} $.

Вычислим сумму справа: $ \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8} $.

Мы получили, что $ \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} > \frac{3}{8} $.

Следовательно, исходное высказывание истинно.

Ответ: Истинно.

6) $ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} > 1 $

Оценим сумму $ \frac{1}{3} + \frac{1}{4} $. Так как $ \frac{1}{3} > \frac{1}{4} $, то $ \frac{1}{3} + \frac{1}{4} > \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $.

Мы показали, что $ \frac{1}{3} + \frac{1}{4} $ больше, чем $ \frac{1}{2} $.

Теперь вернемся к исходному неравенству:

$ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} + (\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) $.

Заменим выражение в скобках на меньшее число $ \frac{1}{2} $:

$ \frac{1}{2} + (\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) > \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 $.

Таким образом, $ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} > 1 $.

Следовательно, исходное высказывание истинно.

Ответ: Истинно.

7) $ \frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \frac{1}{13} > \frac{3}{13} $

Этот пример аналогичен примеру 5). В сумме $ \frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \frac{1}{13} $ наименьшим слагаемым является $ \frac{1}{13} $.

Сравним остальные слагаемые с $ \frac{1}{13} $:

$ \frac{1}{11} > \frac{1}{13} $ (так как $ 11 < 13 $).

$ \frac{1}{12} > \frac{1}{13} $ (так как $ 12 < 13 $).

Заменим в левой части каждое слагаемое на меньшее или равное ему число $ \frac{1}{13} $. Сумма от этого уменьшится.

$ \frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \frac{1}{13} > \frac{1}{13} + \frac{1}{13} + \frac{1}{13} $.

Вычислим сумму справа: $ \frac{1}{13} + \frac{1}{13} + \frac{1}{13} = \frac{3}{13} $.

Таким образом, $ \frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \frac{1}{13} > \frac{3}{13} $.

Следовательно, исходное высказывание истинно.

Ответ: Истинно.

8) $ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{8} < 2 $

Распишем сумму полностью: $ S = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} $.

Чтобы доказать неравенство, сгруппируем слагаемые и оценим каждую группу сверху.

$ S = \frac{1}{2} + (\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}) + (\frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}) $.

Оценим первую группу: $ \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} $. Каждое из этих слагаемых меньше, чем $ \frac{1}{3} $.

$ \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} < \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1 $.

Оценим вторую группу: $ \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} $. Каждое из этих слагаемых меньше, чем $ \frac{1}{6} $.

$ \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} < \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $.

Теперь подставим полученные оценки в выражение для суммы S:

$ S < \frac{1}{2} + 1 + \frac{1}{2} $.

$ \frac{1}{2} + 1 + \frac{1}{2} = 2 $.

Таким образом, мы доказали, что $ S < 2 $.

Следовательно, исходное высказывание истинно.

Ответ: Истинно.