Номер 322, страница 64, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

322 а) Пусть неправильная дробь $\frac{p}{q}$ несократима. Может ли оказаться сократимой дробная часть полученной из неё смешанной дроби?

б) Пусть правильная дробь $\frac{p}{q}$ несократима. Смешанную дробь $6\frac{p}{q}$ перевели в неправильную дробь. Может ли полученная дробь оказаться сократимой?

в) На контрольной работе Саша выделил целую часть из дроби $\frac{328}{15}$ и получил $21\frac{3}{15}$. Андрей заглянул к нему в тетрадь и, хотя писал работу другого варианта, сразу сказал, что в этом примере ошибка. Как же Андрей сообразил, что пример решён неверно?

а)

Пусть дана несократимая неправильная дробь $\frac{p}{q}$. Это означает, что наибольший общий делитель числителя и знаменателя равен 1, то есть $НОД(p, q) = 1$.

При выделении целой части из этой дроби мы представляем её в виде смешанного числа $n \frac{r}{q}$, где $n$ — целая часть, а $\frac{r}{q}$ — дробная часть. Это соответствует делению с остатком: $p = n \cdot q + r$, где $r$ — остаток от деления $p$ на $q$, и $0 \le r < q$.

Дробная часть $\frac{r}{q}$ будет сократимой, если $НОД(r, q) > 1$.

Воспользуемся свойством наибольшего общего делителя (алгоритм Евклида), которое гласит, что $НОД(a, b) = НОД(a - kb, b)$.

Применительно к нашему случаю: $НОД(p, q) = НОД(nq + r, q) = НОД(r, q)$.

Поскольку по условию дробь $\frac{p}{q}$ несократима, то $НОД(p, q) = 1$. Следовательно, $НОД(r, q)$ также должен быть равен 1.

Это означает, что дробная часть $\frac{r}{q}$ всегда будет несократимой.
Ответ: нет, не может.

б)

Пусть дана несократимая правильная дробь $\frac{p}{q}$, то есть $p < q$ и $НОД(p, q) = 1$.

Смешанную дробь $6 \frac{p}{q}$ переводят в неправильную дробь по правилу: $6 \frac{p}{q} = \frac{6 \cdot q + p}{q}$.

Вопрос заключается в том, может ли полученная дробь $\frac{6q+p}{q}$ быть сократимой. Дробь является сократимой, если её числитель и знаменатель имеют общий делитель больше 1, то есть если $НОД(6q+p, q) > 1$.

Используем свойство наибольшего общего делителя: $НОД(a+kb, b) = НОД(a, b)$.

В нашем случае $НОД(6q+p, q) = НОД(p, q)$.

По условию дробь $\frac{p}{q}$ несократима, значит $НОД(p, q) = 1$.

Следовательно, $НОД(6q+p, q)$ также равен 1. Это означает, что полученная неправильная дробь всегда будет несократимой.
Ответ: нет, не может.

в)

Андрей мог заметить ошибку мгновенно, не выполняя полного деления, по следующей причине.

Во-первых, нужно проверить, является ли исходная дробь $\frac{328}{15}$ несократимой. Знаменатель $15 = 3 \times 5$. Числитель 328 не делится на 3, так как сумма его цифр $3+2+8=13$ не делится на 3. Он также не делится на 5, так как не оканчивается на 0 или 5. Значит, дробь $\frac{328}{15}$ несократима.

Как было показано в пункте а), при выделении целой части из несократимой неправильной дроби её дробная часть также должна быть несократимой.

Саша получил ответ $21 \frac{3}{15}$. Дробная часть в его ответе — $\frac{3}{15}$.

Эта дробь является сократимой, так как и числитель (3), и знаменатель (15) делятся на 3: $\frac{3}{15} = \frac{1}{5}$.

Поскольку из несократимой дроби $\frac{328}{15}$ не могла получиться сократимая дробная часть $\frac{3}{15}$, Андрей сразу понял, что в решении допущена ошибка.

Правильное решение: $328 \div 15 = 21$ с остатком 13. Таким образом, $\frac{328}{15} = 21 \frac{13}{15}$. Дробная часть $\frac{13}{15}$ является несократимой, как и ожидалось.
Ответ: Андрей заметил, что дробная часть в ответе Саши, $\frac{3}{15}$, является сократимой. Однако исходная дробь $\frac{328}{15}$ несократима, а при выделении целой части из несократимой дроби должна получиться также несократимая дробная часть. Это противоречие и указывает на ошибку в вычислениях.