Номер 278, страница 55, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

278 В числителе дроби записали произведение всех чётных чисел первого десятка, а в знаменателе – произведение всех нечётных чисел первого десятка.

Приведи эту дробь к несократимому виду.

Для решения задачи сначала определим, какие числа находятся в числителе и знаменателе дроби.

В числителе находится произведение всех чётных чисел первого десятка. Первый десяток — это числа от 1 до 10. Чётные числа из этого диапазона: 2, 4, 6, 8, 10. Их произведение равно $2 \times 4 \times 6 \times 8 \times 10$.

В знаменателе находится произведение всех нечётных чисел первого десятка. Нечётные числа из этого диапазона: 1, 3, 5, 7, 9. Их произведение равно $1 \times 3 \times 5 \times 7 \times 9$.

Таким образом, мы получаем следующую дробь: $ \frac{2 \times 4 \times 6 \times 8 \times 10}{1 \times 3 \times 5 \times 7 \times 9} $.

Чтобы привести дробь к несократимому виду, необходимо сократить общие множители в числителе и знаменателе. Для удобства сокращения можно заметить, что множитель $6$ в числителе и $3$ в знаменателе делятся на $3$, а множитель $10$ в числителе и $5$ в знаменателе делятся на $5$.

Выполним сокращение. Сначала сократим на $3$:

$ \frac{2 \times 4 \times (6 \div 3) \times 8 \times 10}{1 \times (3 \div 3) \times 5 \times 7 \times 9} = \frac{2 \times 4 \times 2 \times 8 \times 10}{1 \times 1 \times 5 \times 7 \times 9} $.

Теперь сократим на $5$:

$ \frac{2 \times 4 \times 2 \times 8 \times (10 \div 5)}{1 \times 1 \times (5 \div 5) \times 7 \times 9} = \frac{2 \times 4 \times 2 \times 8 \times 2}{1 \times 1 \times 1 \times 7 \times 9} $.

После сокращения дробь имеет вид: $ \frac{2 \times 4 \times 2 \times 8 \times 2}{1 \times 7 \times 9} $.

Больше общих множителей у числителя и знаменателя нет, так как в числителе остались только степени двойки, а в знаменателе множители $7$ и $3$ (из числа $9$).

Теперь вычислим окончательные значения числителя и знаменателя.

Числитель: $2 \times 4 \times 2 \times 8 \times 2 = 8 \times 2 \times 8 \times 2 = 16 \times 16 = 256$.

Знаменатель: $1 \times 7 \times 9 = 63$.

В результате получаем несократимую дробь $ \frac{256}{63} $.

Ответ: $ \frac{256}{63} $.