Номер 272, страница 55, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

272 Построй математическую модель задачи и реши её методом перебора.

1) Сумма цифр двузначного числа равна 15. Если эти цифры поменять местами, то получится число, которое на 27 меньше исходного. Найти эти числа.

2) Сумма цифр двузначного числа равна 12. Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, составляет $\frac{4}{7}$ исходного числа. Найти эти числа.

1)

Построим математическую модель. Пусть исходное двузначное число имеет $x$ десятков и $y$ единиц. Тогда его можно записать в виде $10x + y$. При этом $x$ и $y$ – целые числа, $1 \le x \le 9$, $0 \le y \le 9$.

Согласно первому условию, сумма цифр числа равна 15:

$x + y = 15$.

Если поменять цифры местами, получится число $10y + x$. По второму условию, это новое число на 27 меньше исходного:

$(10x + y) - (10y + x) = 27$.

Решим задачу методом перебора.

Найдем все пары цифр $(x, y)$, сумма которых равна 15. Поскольку $x$ - первая цифра, она не может быть меньше 6 (иначе $y$ будет двузначным числом, $15-5=10$).

Возможные пары $(x, y)$ и соответствующие им числа:

• Если $x=6$, то $y=9$. Исходное число 69.
• Если $x=7$, то $y=8$. Исходное число 78.
• Если $x=8$, то $y=7$. Исходное число 87.
• Если $x=9$, то $y=6$. Исходное число 96.

Теперь проверим второе условие для каждого из найденных чисел.

• Для числа 69: число с переставленными цифрами – 96. Разность $69 - 96 = -27$. Условие не выполнено (новое число больше, а не меньше).
• Для числа 78: число с переставленными цифрами – 87. Разность $78 - 87 = -9$. Условие не выполнено.
• Для числа 87: число с переставленными цифрами – 78. Разность $87 - 78 = 9$. Условие не выполнено.
• Для числа 96: число с переставленными цифрами – 69. Разность $96 - 69 = 27$. Условие выполнено.

Таким образом, исходное число – 96, а число, полученное после перестановки цифр, – 69.

Ответ: 96 и 69.

2)

Построим математическую модель. Пусть исходное двузначное число – это $10x + y$, где $x$ – цифра десятков ($1 \le x \le 9$), а $y$ – цифра единиц ($0 \le y \le 9$).

Сумма цифр равна 12:

$x + y = 12$.

Число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, – это $10y + x$. Оно составляет $\frac{4}{7}$ от исходного числа:

$10y + x = \frac{4}{7}(10x + y)$.

Решим задачу методом перебора.

Выпишем все двузначные числа, сумма цифр которых равна 12. Начнем перебор с $x$, помня, что $x$ не может быть 0.

Возможные пары $(x, y)$ и соответствующие им числа:

• Если $x=3$, то $y=9$. Число 39.
• Если $x=4$, то $y=8$. Число 48.
• Если $x=5$, то $y=7$. Число 57.
• Если $x=6$, то $y=6$. Число 66.
• Если $x=7$, то $y=5$. Число 75.
• Если $x=8$, то $y=4$. Число 84.
• Если $x=9$, то $y=3$. Число 93.

Теперь проверим второе условие для каждого из этих чисел. Удобнее проверять его в виде $7 \cdot (10y+x) = 4 \cdot (10x+y)$.

• Число 39, обратное 93. Проверяем: $93 = \frac{4}{7} \cdot 39$? $93 \cdot 7 = 651$, $4 \cdot 39 = 156$. Неверно.
• Число 48, обратное 84. Проверяем: $84 = \frac{4}{7} \cdot 48$? $84 \cdot 7 = 588$, $4 \cdot 48 = 192$. Неверно.
• Число 57, обратное 75. Проверяем: $75 = \frac{4}{7} \cdot 57$? $75 \cdot 7 = 525$, $4 \cdot 57 = 228$. Неверно.
• Число 66, обратное 66. Проверяем: $66 = \frac{4}{7} \cdot 66$? Это возможно только если $\frac{4}{7} = 1$, что неверно.
• Число 75, обратное 57. Проверяем: $57 = \frac{4}{7} \cdot 75$? $57 \cdot 7 = 399$, $4 \cdot 75 = 300$. Неверно.
• Число 84, обратное 48. Проверяем: $48 = \frac{4}{7} \cdot 84$? $48 = 4 \cdot \frac{84}{7} = 4 \cdot 12 = 48$. Верно.
• Число 93, обратное 39. Проверяем: $39 = \frac{4}{7} \cdot 93$? $39 \cdot 7 = 273$, $4 \cdot 93 = 372$. Неверно.

Следовательно, исходное число – 84, а число, записанное в обратном порядке, – 48.

Ответ: 84 и 48.