Номер 266, страница 53, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

266 1) Сократи дроби, представляя степени в виде произведений (значения всех переменных — натуральные числа):

$\frac{a}{a^2}$, $\frac{b^3}{b^2}$, $\frac{c^2}{c^4}$, $\frac{d^5}{d}$, $\frac{m^4}{m^8}$, $\frac{n^7}{n^5}$, $\frac{p^3}{p^6}$, $\frac{q^{10}}{q^7}$, $\frac{x^8}{x^{11}}$, $\frac{y^9}{y^6}$.

Как найти ответ, не выписывая произведений?

2) Сократи дроби с натуральными числителями и знаменателями:

$\frac{a^n}{a^{n+2}}$, $\frac{b^{k+5}}{b^3}$, $\frac{c^m}{c^4} (m > 4)$, $\frac{d^n}{d^{12}} (n < 12)$, $\frac{x^p}{x^q} (p > q)$, $\frac{y^p}{y^q} (p < q)$.

1)

Сократим дроби, представив степени в виде произведений и сократив одинаковые множители в числителе и знаменателе.

$\frac{a}{a^2} = \frac{a}{a \cdot a} = \frac{1}{a}$
Ответ: $\frac{1}{a}$.

$\frac{b^3}{b^2} = \frac{b \cdot b \cdot b}{b \cdot b} = b$
Ответ: $b$.

$\frac{c^2}{c^4} = \frac{c \cdot c}{c \cdot c \cdot c \cdot c} = \frac{1}{c \cdot c} = \frac{1}{c^2}$
Ответ: $\frac{1}{c^2}$.

$\frac{d^5}{d} = \frac{d \cdot d \cdot d \cdot d \cdot d}{d} = d \cdot d \cdot d \cdot d = d^4$
Ответ: $d^4$.

$\frac{m^4}{m^8} = \frac{m \cdot m \cdot m \cdot m}{m \cdot m \cdot m \cdot m \cdot m \cdot m \cdot m \cdot m} = \frac{1}{m \cdot m \cdot m \cdot m} = \frac{1}{m^4}$
Ответ: $\frac{1}{m^4}$.

$\frac{n^7}{n^5} = \frac{n \cdot n \cdot n \cdot n \cdot n \cdot n \cdot n}{n \cdot n \cdot n \cdot n \cdot n} = n \cdot n = n^2$
Ответ: $n^2$.

$\frac{p^3}{p^6} = \frac{p \cdot p \cdot p}{p \cdot p \cdot p \cdot p \cdot p \cdot p} = \frac{1}{p \cdot p \cdot p} = \frac{1}{p^3}$
Ответ: $\frac{1}{p^3}$.

$\frac{q^{10}}{q^7} = \frac{q\cdot q\cdot q\cdot q\cdot q\cdot q\cdot q\cdot q\cdot q\cdot q}{q\cdot q\cdot q\cdot q\cdot q\cdot q\cdot q} = q \cdot q \cdot q = q^3$
Ответ: $q^3$.

$\frac{x^8}{x^{11}} = \frac{x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x}{x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x} = \frac{1}{x \cdot x \cdot x} = \frac{1}{x^3}$
Ответ: $\frac{1}{x^3}$.

$\frac{y^9}{y^6} = \frac{y\cdot y\cdot y\cdot y\cdot y\cdot y\cdot y\cdot y\cdot y}{y\cdot y\cdot y\cdot y\cdot y\cdot y} = y \cdot y \cdot y = y^3$
Ответ: $y^3$.

Как найти ответ, не выписывая произведений?

Для того чтобы сокращать дроби со степенями, не расписывая их в виде произведений, используется свойство частного степеней с одинаковым основанием. Это свойство формулируется следующим образом: при делении степеней с одинаковым основанием из показателя степени числителя вычитается показатель степени знаменателя, а основание остается тем же. Математически это записывается как $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ (при $a \ne 0$).

Рассмотрим два основных случая:

1. Если показатель степени в числителе больше, чем в знаменателе (то есть $m > n$), то в результате получается степень с тем же основанием и положительным показателем $m-n$.
Например, $\frac{n^7}{n^5} = n^{7-5} = n^2$.

2. Если показатель степени в числителе меньше, чем в знаменателе (то есть $m < n$), то разность $m-n$ будет отрицательной. Степень с отрицательным показателем равна единице, деленной на ту же степень с положительным показателем: $a^{-k} = \frac{1}{a^k}$. Поэтому удобнее вычесть меньший показатель из большего и записать результат в знаменатель.
Например, $\frac{p^3}{p^6} = \frac{1}{p^{6-3}} = \frac{1}{p^3}$.

Ответ: Нужно использовать правило деления степеней с одинаковым основанием: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$. Если показатель числителя $m$ больше показателя знаменателя $n$, результат будет $a^{m-n}$. Если $m$ меньше $n$, результат будет $\frac{1}{a^{n-m}}$.

2)

Сократим дроби, используя правило деления степеней.

$\frac{a^n}{a^{n+2}}$
Показатель степени знаменателя ($n+2$) больше показателя числителя ($n$). Разность показателей равна $(n+2) - n = 2$. Результат записываем в знаменатель.
$\frac{a^n}{a^{n+2}} = \frac{1}{a^{(n+2)-n}} = \frac{1}{a^2}$.
Ответ: $\frac{1}{a^2}$.

$\frac{b^{k+5}}{b^3}$
Поскольку $k$ — натуральное число, $k \ge 1$, следовательно $k+5 > 3$. Показатель числителя больше. Разность показателей равна $(k+5) - 3 = k+2$.
$\frac{b^{k+5}}{b^3} = b^{(k+5)-3} = b^{k+2}$.
Ответ: $b^{k+2}$.

$\frac{c^m}{c^4}$ (при $m > 4$)
По условию $m > 4$, значит показатель числителя больше. Разность показателей равна $m-4$.
$\frac{c^m}{c^4} = c^{m-4}$.
Ответ: $c^{m-4}$.

$\frac{d^n}{d^{12}}$ (при $n < 12$)
По условию $n < 12$, значит показатель знаменателя больше. Разность показателей равна $12-n$. Результат записываем в знаменатель.
$\frac{d^n}{d^{12}} = \frac{1}{d^{12-n}}$.
Ответ: $\frac{1}{d^{12-n}}$.

$\frac{x^p}{x^q}$ (при $p > q$)
По условию $p > q$, значит показатель числителя больше. Разность показателей равна $p-q$.
$\frac{x^p}{x^q} = x^{p-q}$.
Ответ: $x^{p-q}$.

$\frac{y^p}{y^q}$ (при $p < q$)
По условию $p < q$, значит показатель знаменателя больше. Разность показателей равна $q-p$. Результат записываем в знаменатель.
$\frac{y^p}{y^q} = \frac{1}{y^{q-p}}$.
Ответ: $\frac{1}{y^{q-p}}$.