Номер 271, страница 54, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

271 Переведи условие задачи на математический язык.

1) Длина садового участка прямоугольной формы на 10 м больше его ширины. Его площадь решили увеличить на 400 м². Для этого длину увеличили на 10 м, а ширину на 2 м. Чему равна площадь нового участка?

Пусть $l$ - длина садового участка, $w$ - ширина садового участка, $S$ - площадь участка.

По условию задачи:

$l = w + 10$

$S = lw$

Новые размеры и площадь:

$l_{нов} = l + 10$

$w_{нов} = w + 2$

$S_{нов} = S + 400$

$S_{нов} = l_{нов} \cdot w_{нов}$

2) Под строительную площадку отвели прямоугольный участок, длина которого на 25 м больше его ширины. При утверждении плана застройки длину участка увеличили на 5 м, а ширину на 4 м, в результате площадь участка увеличилась на 300 м². Чему равна площадь образовавшейся строительной площадки?

Пусть $l$ - длина участка, $w$ - ширина участка, $S$ - площадь участка.

По условию задачи:

$l = w + 25$

$S = lw$

Новые размеры и площадь:

$l_{нов} = l + 5$

$w_{нов} = w + 4$

$S_{нов} = S + 300$

$S_{нов} = l_{нов} \cdot w_{нов}$

1)

Пусть первоначальная ширина садового участка равна $x$ м. Согласно условию, его длина на 10 м больше, то есть $(x + 10)$ м. Первоначальная площадь участка $S_1$ составляет $x(x + 10)$ м².

Для увеличения площади длину увеличили на 10 м, и она стала равна $(x + 10) + 10 = (x + 20)$ м. Ширину увеличили на 2 м, и она стала равна $(x + 2)$ м. Площадь нового участка $S_2$ составляет $(x + 20)(x + 2)$ м².

По условию, площадь увеличили на 400 м², следовательно, $S_2 = S_1 + 400$. Составим уравнение, подставив выражения для площадей:

$(x + 20)(x + 2) = x(x + 10) + 400$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$x^2 + 2x + 20x + 40 = x^2 + 10x + 400$

$x^2 + 22x + 40 = x^2 + 10x + 400$

$22x - 10x = 400 - 40$

$12x = 360$

$x = 30$

Первоначальная ширина участка равна 30 м. Найдем первоначальную площадь: $S_1 = 30 \cdot (30 + 10) = 30 \cdot 40 = 1200$ м². Площадь нового участка $S_2$ на 400 м² больше, чем $S_1$.

$S_2 = 1200 + 400 = 1600$ м².

Ответ: 1600 м²

2)

Пусть первоначальная ширина прямоугольного участка равна $y$ м. По условию, его длина на 25 м больше, то есть $(y + 25)$ м. Первоначальная площадь участка $S_1$ равна $y(y + 25)$ м².

При утверждении плана застройки длину увеличили на 5 м, и она стала $(y + 25) + 5 = (y + 30)$ м. Ширину увеличили на 4 м, и она стала $(y + 4)$ м. Площадь новой строительной площадки $S_2$ равна $(y + 30)(y + 4)$ м².

В результате изменений площадь участка увеличилась на 300 м², значит, $S_2 = S_1 + 300$. Составим уравнение:

$(y + 30)(y + 4) = y(y + 25) + 300$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$y^2 + 4y + 30y + 120 = y^2 + 25y + 300$

$y^2 + 34y + 120 = y^2 + 25y + 300$

$34y - 25y = 300 - 120$

$9y = 180$

$y = 20$

Первоначальная ширина участка равна 20 м. Первоначальная площадь $S_1 = 20 \cdot (20 + 25) = 20 \cdot 45 = 900$ м². Площадь образовавшейся строительной площадки $S_2$ на 300 м² больше, чем $S_1$.

$S_2 = 900 + 300 = 1200$ м².

Ответ: 1200 м²