Номер 268, страница 53, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

268 Придумай, как, используя рисунок, доказать, что

$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64} < 1$? На сколько левая часть неравенства меньше правой?

Доказательство, что $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64} < 1$
Представим, что большой прямоугольник (квадрат) на рисунке имеет площадь, равную 1. Рисунок иллюстрирует процесс последовательного деления этой площади.
1. Сначала квадрат делится пополам, и мы закрашиваем одну половину. Ее площадь равна $\frac{1}{2}$.
2. Оставшаяся половина (тоже площадью $\frac{1}{2}$) снова делится пополам. Мы закрашиваем одну из этих частей, ее площадь составляет $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ от всего квадрата.
3. Оставшаяся четверть делится пополам, и мы закрашиваем часть с площадью $\frac{1}{8}$.
Продолжая этот процесс, мы последовательно закрашиваем части с площадями $\frac{1}{16}$, $\frac{1}{32}$ и $\frac{1}{64}$.
Сумма $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64}$ представляет собой общую площадь всех закрашенных частей. Поскольку после закрашивания всех этих частей на рисунке все еще остается небольшой незакрашенный прямоугольник, это означает, что общая закрашенная площадь меньше площади всего квадрата. Следовательно, сумма меньше 1.
Ответ: Сумма дробей представляет собой площадь частей большого квадрата, площадь которого принята за 1. Так как после сложения всех частей остается незаполненная область, сумма этих частей меньше 1.

На сколько левая часть неравенства меньше правой?
Чтобы найти, на сколько левая часть меньше правой, нужно найти значение выражения $1 - (\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64})$.
Это значение равно площади незакрашенной части квадрата. Как мы видели из доказательства, на каждом шаге мы забираем половину от оставшейся части:
- Остаток после первого шага: $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
- Остаток после второго шага: $\frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$.
- Остаток после третьего шага: $\frac{1}{4} - \frac{1}{8} = \frac{1}{8}$.
- Остаток после четвертого шага: $\frac{1}{8} - \frac{1}{16} = \frac{1}{16}$.
- Остаток после пятого шага: $\frac{1}{16} - \frac{1}{32} = \frac{1}{32}$.
- Остаток после шестого шага: $\frac{1}{32} - \frac{1}{64} = \frac{2}{64} - \frac{1}{64} = \frac{1}{64}$.
Таким образом, площадь незакрашенной части равна $\frac{1}{64}$.
Можно также вычислить сумму напрямую, приведя все дроби к общему знаменателю 64:
$\frac{32}{64} + \frac{16}{64} + \frac{8}{64} + \frac{4}{64} + \frac{2}{64} + \frac{1}{64} = \frac{32+16+8+4+2+1}{64} = \frac{63}{64}$.
Тогда разность равна: $1 - \frac{63}{64} = \frac{64}{64} - \frac{63}{64} = \frac{1}{64}$.
Ответ: Левая часть неравенства меньше правой на $\frac{1}{64}$.