Номер 264, страница 53, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

264 Докажи или опровергни высказывания:

1) $\exists n \in N$: дробь $\frac{2n + 1}{2}$ сократима;

3) $\exists n \in N$: дробь $\frac{3n + 1}{2}$ сократима;

2) $\exists n \in N$: дробь $\frac{2n + 1}{2}$ несократима;

4) $\exists n \in N$: дробь $\frac{3n + 1}{2}$ несократима.

1) ∃ n ∈ N: дробь $\frac{2n + 1}{2}$ сократима;

Данное высказывание ложно. Дробь является сократимой, если её числитель и знаменатель имеют общий делитель, больший 1. В дроби $\frac{2n + 1}{2}$ знаменатель равен 2. Следовательно, дробь может быть сократима только в том случае, если её числитель, $2n+1$, является четным числом. Однако для любого натурального числа $n$, $2n$ является четным числом. Тогда $2n+1$ — это сумма четного числа и единицы, что всегда дает в результате нечетное число. Поскольку числитель $2n+1$ всегда нечетен, он не делится на 2. Таким образом, наибольший общий делитель числителя и знаменателя, $НОД(2n+1, 2)$, всегда равен 1. Это означает, что дробь несократима при любом натуральном $n$, и не существует такого $n$, при котором она была бы сократима.
Ответ: высказывание ложно.

2) ∃ n ∈ N: дробь $\frac{2n + 1}{2}$ несократима;

Данное высказывание истинно. Дробь является несократимой, если её числитель и знаменатель взаимно просты, то есть их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Как было показано в предыдущем пункте, для любого натурального числа $n \in N$, выражение $2n+1$ является нечетным числом. Следовательно, $НОД(2n+1, 2) = 1$ для любого $n \in N$. Так как высказывание верно для любого натурального $n$, то, безусловно, существует хотя бы одно такое $n$. Например, при $n=1$ получаем дробь $\frac{2(1)+1}{2} = \frac{3}{2}$. $НОД(3, 2)=1$, следовательно, дробь несократима.
Ответ: высказывание истинно.

3) ∃ n ∈ N: дробь $\frac{3n + 1}{2}$ сократима;

Данное высказывание истинно. Чтобы доказать это, достаточно найти хотя бы одно натуральное число $n$, для которого дробь $\frac{3n + 1}{2}$ является сократимой. Дробь будет сократимой, если её числитель, $3n+1$, делится на 2, то есть является четным. Разобьем натуральные числа $n$ на две группы: четные и нечетные.

Если $n$ — нечетное, то $3n$ тоже нечетное (произведение двух нечетных чисел). Тогда $3n+1$ — это сумма нечетного числа и единицы, что является четным числом.

Выберем любое нечетное $n$, например, $n=1$. При $n=1$ получаем дробь $\frac{3(1)+1}{2} = \frac{4}{2}$. Так как $НОД(4, 2)=2$, а $2>1$, дробь сократима. Существование такого $n$ доказано.
Ответ: высказывание истинно.

4) ∃ n ∈ N: дробь $\frac{3n + 1}{2}$ несократима.

Данное высказывание истинно. Требуется найти такое натуральное число $n$, для которого дробь $\frac{3n + 1}{2}$ будет несократимой. Это произойдет, если числитель $3n+1$ не будет делиться на 2, то есть будет нечетным. Как было рассмотрено в предыдущем пункте, четность $3n+1$ зависит от четности $n$.

Если $n$ — четное, то $3n$ тоже четное (произведение любого числа на четное). Тогда $3n+1$ — это сумма четного числа и единицы, что является нечетным числом.

Выберем любое четное $n$, например, $n=2$. При $n=2$ получаем дробь $\frac{3(2)+1}{2} = \frac{7}{2}$. Так как числитель 7 нечетный, он не делится на 2. $НОД(7, 2)=1$, следовательно, дробь несократима. Существование такого $n$ доказано.
Ответ: высказывание истинно.