Номер 260, страница 52, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

260 1) Прочитай задачу:

«В классе $a$ девочек и $c$ мальчиков. По болезни сегодня отсутствуют $b$ девочек и $d$ мальчиков. Сколько учащихся сегодня присутствует на занятиях?»

Что означают выражения:

$(a + c) - (b + d)$ и $(a - b) + (c - d)?$

2) На основании равенства

$(a + c) - (b + d) = (a - b) + (c-d)$

сформулируй правило вычитания суммы из суммы. Используй это правило для вычисления разности $5\frac{8}{11} - 2\frac{4}{11}$.

3) Исходя из правила вычитания суммы из суммы, докажи равенство

$(a + c) - (b + c) = a - b.$

Замени в нём знак «+» на знак « $\cdot$ », а знак «-» на знак «: ». Что получилось? Что получится, если заменить в новом равенстве знак деления на черту дроби?

4) Замени в равенстве $(a + c) - (b + d) = (a - b) + (c – d)$ знак «+» на знак « $\cdot$ », а знак «-» на знак «:».

Переведи получившееся высказывание с математического языка на русский. Что получится, если в новом равенстве заменить знак деления на черту дроби? Сформулируй гипотезу об истинности этих высказываний и попробуй её доказать.

1)

В задаче $a$ — число девочек, $c$ — число мальчиков, $b$ — число отсутствующих девочек, $d$ — число отсутствующих мальчиков.

Выражение $(a + c) - (b + d)$ означает, что сначала мы находим общее число учащихся в классе (сумма девочек и мальчиков $a + c$), затем находим общее число отсутствующих учащихся (сумма отсутствующих девочек и мальчиков $b + d$), и потом из общего числа учащихся вычитаем общее число отсутствующих. В результате получаем число учащихся, которые сегодня присутствуют на занятиях.

Выражение $(a - b) + (c - d)$ означает, что сначала мы находим число присутствующих девочек (из всех девочек $a$ вычитаем отсутствующих $b$), затем находим число присутствующих мальчиков (из всех мальчиков $c$ вычитаем отсутствующих $d$), и потом складываем число присутствующих девочек и мальчиков. В результате также получаем общее число учащихся, которые сегодня присутствуют на занятиях.

Ответ: оба выражения означают общее количество учащихся, присутствующих на занятиях, но вычисленное разными способами.

2)

Правило вычитания суммы из суммы, основанное на равенстве $(a + c) - (b + d) = (a - b) + (c - d)$, можно сформулировать так: чтобы из суммы двух слагаемых вычесть сумму двух слагаемых, нужно из первого слагаемого первой суммы вычесть первое слагаемое второй суммы, из второго слагаемого первой суммы вычесть второе слагаемое второй суммы, а затем сложить полученные разности.

Используем это правило для вычисления разности $5\frac{8}{11} - 2\frac{4}{11}$. Представим смешанные числа в виде суммы целой и дробной частей:

$5\frac{8}{11} = 5 + \frac{8}{11}$

$2\frac{4}{11} = 2 + \frac{4}{11}$

Тогда разность примет вид:

$(5 + \frac{8}{11}) - (2 + \frac{4}{11})$

Применяя правило, получаем:

$(5 - 2) + (\frac{8}{11} - \frac{4}{11}) = 3 + \frac{4}{11} = 3\frac{4}{11}$

Ответ: правило — чтобы вычесть сумму из суммы, можно вычесть соответствующие слагаемые и сложить результаты; $5\frac{8}{11} - 2\frac{4}{11} = 3\frac{4}{11}$.

3)

Докажем равенство $(a + c) - (b + c) = a - b$. Раскроем скобки в левой части равенства. Вычитание суммы $(b+c)$ равносильно последовательному вычитанию каждого слагаемого:

$(a + c) - (b + c) = a + c - b - c$

Поменяем местами слагаемые для удобства:

$a - b + c - c$

Поскольку $c - c = 0$, получаем:

$a - b + 0 = a - b$

Левая часть равна правой, равенство доказано.

Теперь заменим в равенстве $(a + c) - (b + c) = a - b$ знак «+» на знак «$\cdot$», а знак «−» на знак «:».

Получится следующее равенство: $(a \cdot c) : (b \cdot c) = a : b$.

Если в новом равенстве заменить знак деления «:» на черту дроби, то получится:

$\frac{a \cdot c}{b \cdot c} = \frac{a}{b}$

Это основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же ненулевое число, то величина дроби не изменится.

Ответ: после замены получается $(a \cdot c) : (b \cdot c) = a : b$. Если заменить деление на черту дроби, получится основное свойство дроби $\frac{a \cdot c}{b \cdot c} = \frac{a}{b}$.

4)

Заменим в равенстве $(a + c) - (b + d) = (a - b) + (c - d)$ знак «+» на знак «$\cdot$», а знак «−» на знак «:».

Получится следующее высказывание: $(a \cdot c) : (b \cdot d) = (a : b) \cdot (c : d)$.

Перевод с математического языка на русский: частное от деления произведения чисел $a$ и $c$ на произведение чисел $b$ и $d$ равно произведению частного от деления $a$ на $b$ и частного от деления $c$ на $d$.

Если в новом равенстве заменить знак деления на черту дроби, получится:

$\frac{a \cdot c}{b \cdot d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}$

Это правило умножения дробей.

Гипотеза: высказывания $(a \cdot c) : (b \cdot d) = (a : b) \cdot (c : d)$ и $\frac{a \cdot c}{b \cdot d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}$ являются истинными для всех чисел, при которых они имеют смысл (то есть, делители $b$ и $d$ не равны нулю).

Доказательство: докажем истинность второго равенства, записанного с помощью дробей. Согласно правилу умножения дробей, чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и перемножить их знаменатели. Выполним это действие для правой части равенства:

$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$

Полученное выражение в точности совпадает с левой частью равенства. Таким образом, гипотеза верна, и это равенство является правилом умножения дробей.

Ответ: получилось равенство $(a \cdot c) : (b \cdot d) = (a : b) \cdot (c : d)$, которое в виде дробей выглядит как $\frac{a \cdot c}{b \cdot d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}$. Оно означает, что частное произведений равно произведению частных. Гипотеза об истинности этого высказывания верна, оно является правилом умножения дробей.