Номер 243, страница 48, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

243 Что больше:

a) $ \frac{1}{2} + \frac{1}{5} $ или $ \frac{1}{3} + \frac{1}{4} $;

б) $ \frac{1}{2} - \frac{1}{3} $ или $ \frac{1}{4} - \frac{1}{5} $;

в) $ \frac{1}{2005} + \frac{1}{2009} $ или $ \frac{1}{2006} + \frac{1}{2008} $;

г) $ \frac{1}{2006} - \frac{1}{2007} $ или $ \frac{1}{2008} - \frac{1}{2009} $?

а) Чтобы сравнить выражения $\frac{1}{2} + \frac{1}{5}$ и $\frac{1}{3} + \frac{1}{4}$, вычислим значение каждого из них.
Первое выражение: $\frac{1}{2} + \frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} + \frac{1 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{5}{10} + \frac{2}{10} = \frac{7}{10}$.
Второе выражение: $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$.
Теперь сравним полученные дроби $\frac{7}{10}$ и $\frac{7}{12}$. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Так как $10 < 12$, то $\frac{7}{10} > \frac{7}{12}$.
Следовательно, $\frac{1}{2} + \frac{1}{5} > \frac{1}{3} + \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{2} + \frac{1}{5}$.

б) Чтобы сравнить выражения $\frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ и $\frac{1}{4} - \frac{1}{5}$, вычислим значение каждого из них.
Первое выражение: $\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$.
Второе выражение: $\frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5}{4 \cdot 5} - \frac{1 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{5}{20} - \frac{4}{20} = \frac{1}{20}$.
Теперь сравним дроби $\frac{1}{6}$ и $\frac{1}{20}$. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Так как $6 < 20$, то $\frac{1}{6} > \frac{1}{20}$.
Следовательно, $\frac{1}{2} - \frac{1}{3} > \frac{1}{4} - \frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{2} - \frac{1}{3}$.

в) Нужно сравнить суммы $\frac{1}{2005} + \frac{1}{2009}$ и $\frac{1}{2006} + \frac{1}{2008}$.
Это сравнение равносильно сравнению разностей $\frac{1}{2005} - \frac{1}{2006}$ и $\frac{1}{2008} - \frac{1}{2009}$.
Найдем первую разность: $\frac{1}{2005} - \frac{1}{2006} = \frac{2006 - 2005}{2005 \cdot 2006} = \frac{1}{2005 \cdot 2006}$.
Найдем вторую разность: $\frac{1}{2008} - \frac{1}{2009} = \frac{2009 - 2008}{2008 \cdot 2009} = \frac{1}{2008 \cdot 2009}$.
Теперь сравним дроби $\frac{1}{2005 \cdot 2006}$ и $\frac{1}{2008 \cdot 2009}$. У них одинаковые числители, равные 1. Сравним знаменатели.
Поскольку $2005 < 2008$ и $2006 < 2009$, то $2005 \cdot 2006 < 2008 \cdot 2009$.
Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.
Значит, $\frac{1}{2005 \cdot 2006} > \frac{1}{2008 \cdot 2009}$, откуда следует, что $\frac{1}{2005} - \frac{1}{2006} > \frac{1}{2008} - \frac{1}{2009}$.
Перенося слагаемые, получаем $\frac{1}{2005} + \frac{1}{2009} > \frac{1}{2006} + \frac{1}{2008}$.
Ответ: $\frac{1}{2005} + \frac{1}{2009}$.

г) Нужно сравнить разности $\frac{1}{2006} - \frac{1}{2007}$ и $\frac{1}{2008} - \frac{1}{2009}$.
Вычислим значение каждой разности.
Первая разность: $\frac{1}{2006} - \frac{1}{2007} = \frac{2007 - 2006}{2006 \cdot 2007} = \frac{1}{2006 \cdot 2007}$.
Вторая разность: $\frac{1}{2008} - \frac{1}{2009} = \frac{2009 - 2008}{2008 \cdot 2009} = \frac{1}{2008 \cdot 2009}$.
Теперь сравним дроби $\frac{1}{2006 \cdot 2007}$ и $\frac{1}{2008 \cdot 2009}$. Числители этих дробей равны 1.
Сравним знаменатели: $2006 \cdot 2007$ и $2008 \cdot 2009$.
Так как $2006 < 2008$ и $2007 < 2009$, то и произведение $2006 \cdot 2007 < 2008 \cdot 2009$.
Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.
Следовательно, $\frac{1}{2006 \cdot 2007} > \frac{1}{2008 \cdot 2009}$, а это значит, что $\frac{1}{2006} - \frac{1}{2007} > \frac{1}{2008} - \frac{1}{2009}$.
Ответ: $\frac{1}{2006} - \frac{1}{2007}$.